Представления групп

Представления групп

• Групповое представление Рассмотрим несколько симметричных групп. Встроенная функция координат (в конфигурации) Специфическое физическое пространство системы). Заранее Формирование системы координат, соответствующей элементу G х) Группы T, Td, Th, O, Oh называются кубическими. 450 T E O R I Y S и M M ETRI и GL. XII Для групп эта функция входит в другую функцию.

• Выполнить все g преобразований группы поочередно (g-by Групповая линия), получаем из общего случая г Нью-Йорк функция. Некоторые из них на определенных выборах Однако функции могут быть линейно зависимыми. снова В результате мы получаем конкретное число / (/ i = Y, G ki * k- (94,1) к Так как функция fi всегда может быть выбрана, Взаимно ортогональны и нормированы. Понятие от этого Матрица преобразования соответствует концепции оперной матрицы Тора, как определено в §11: Гику = J (94,2)

Произведение двух элементов G и H группы равно. Людмила Фирмаль

Матрица определяется обычными матрицами G и H Общие правила умножения матриц (11.12): (GH) ik = Y, GuHlk. (94,3) Я Набор матриц для всех элементов группы Групповое представление. Функция такая же. , , С помощью ijjf Эти матрицы определены и называются основой представления. Количество этих функций / определяет размерность представления. x) Поскольку предполагается, что функция ipi уникальна, каждый элемент Групповой момент соответствует одной конкретной матрице.

Рассмотрим интеграл f i / j * ijjkdq. Так как Интегра Потому что он генерируется во всем пространстве, Значение системы координат вращения или отражения Интеграция не меняется. То есть конверсия Симметрия не нарушает ортонормированность базисных функций ca, а это означает, что оператор G один (см. § 12) 1). Точно так же унитарная также матрица, которая представляет элемент Групповой полицейский с ортонормированным базовым представительством.

Генерация линейной унитарной функции преобразование F’g = Yafg, (94,4) Получите новую функциональную систему. , , который Они нормализованы (см. §12) 2). В качестве основы Есть новые выражения для функций Такое же измерение. Такое представление получено Друг от друга путем линейного преобразования функций из ба Zi называется эквивалентным. Они явно не Это совсем другое.

Эквивалентные матрицы связаны друг с другом Hom по простому соотношению: согласно (12.7) матричный оператор Новое выражение pa G равно матрице операторов G ‘= S ~ 1 GS (94,5) По старому мнению. Сумма диагональных элементов матрицы (т.е. трассы) Тот, который устанавливает элемент группы G, называется его символом. мы Буква обозначена х (G). Очень важно Эквивалентные символы матрицы должны совпадать (см. (12.11)).

Эта ситуация особенно важна. Объяснение группового выражения путем установки символа ter, вы можете быстро различить существенно разные вещи Выражение из эквивалентного выражения. Будет Дем говорит о том, насколько он отличается для неэквивалентных Позиционирование. (94.5) понимание элементов группы в S, я ассоциирую Сопрягающие элементы G и G7 достигнут результата г).

Для этого аргумента важно, чтобы интеграл был равен нулю ( i f / s) или отличается от нуля, поскольку он явно положительный (если r = k) Интегрируемое представление | V ^ | 2- 2) Напомним (см. (12.12)) Итого с учетом равномерности конверсии Квадрат модуля базисной функции инвариантен. Специфические представления групп, матричные символы, Представление элементов одного и того же класса одинаково.

Элементы идентичности группы E соответствуют идентификаторам Новая конверсия. Таким образом, матрица, которая представляет его Все представления являются диагональными и диагональными элементами Полицейский равен 1. Итак, буква х (Е) Стеремерная презентация X (E) = / • (94,6) Рассмотрим некоторое представление размерности /.

Mo Как соответствующий линейный результат, Преобразование (94.4) базисных функций делится на наборы по / b / 2, ••• такие функции как (/ 1 + / 2 + … = /) Воздействие всех элементов каждого набора функциональных групп Конвертировать только друг с другом, не влияя на функцию Ation из других наборов. В этом случае они говорят это Презентация может быть уменьшена.

Количество функций, которые нужно преобразовать друг в друга Основы не могут быть уменьшены линейностью Образование, и выражения, которые они делают, называются Это не может быть уменьшено. Приводимое выражение Говорят, что он разбит на неприводимые выражения. Это соответствующее линейное преобразование Основные функции делятся на несколько наборов, из которых Каждый будет преобразован при воздействии групповых элементов Неприводимое выражение.

Это Вы можете видеть, что несколько разных наборов конвертированы То же неприводимое выражение. В таких случаях Говорят, что это неприводимое выражение Соответствующее количество раз дается. Неприводимое выражение имеет важное значение га Играть ключевую роль в характеристиках группы и всех квантов Механическое применение теории групп.

Указывает на основной Характеристики неприводимых выражений 1). Различные неприводимые числа Положение группы равно количеству r классов в группе. и Различают различные неприводимые символы Надстрочная буква матрицы с другим элементом G % Выражение:% ^^ (G),% (2) (G). , , > (G). Элемент матрицы неприводимого представления Создайте ряд ортогональных отношений.

Прежде всего, Два разных неприводимых выражения сделаны 1) Доказательства этих характеристик можно найти на специальных курсах. Теория групп. §94P R E D S T A V L E N I G R A P 453 соотношение = (94-7> G Где f / 3 отличается двумя неприводимыми выражениями и суммой Работает на всех элементах группы.

• О каждом Но неприводимые выражения, отношения T. a t ‘0 {S l´ = f S u h m (94,8) вы То есть только сумма квадратов матричного модуля не равна нулю элемент \ n (a) \ 2 = e_ \ я к \ м Йол Соотношения (94.7) и (94.8) могут быть описаны вместе в следующем формате: E in I> ‘=’ (94.9) вы В частности, вы можете получить важные отношения отсюда. Ортогональность символов в выражении; Получает часть эквивалентности (94.9) для пары r, k и f, w. 5> (q) (G) x (/ 3) (G0 * = gSap.

(94.10) G О = / 3 I> (Q) (G) | 2 = g G -Сумма квадратов коэффициентов неприводимых предварительных символов Настройки такие же, как у группового заказа. Пожалуйста, обратите внимание на это соотношение Может быть использован в качестве неприводимого стандарта до Настройка-Для данной презентации эта сумма является полной com регистр больше чем g (поэтому, если выражение равно ng.

Все содержат n различных неприводимых частей Внутри себя). Людмила Фирмаль

(94.10), равенство двух символов Необходимо не только неприводимое выражение, Но это также достаточное условие, чтобы они были эквивалентны. Символы, связанные с одним элементом Класс один и тот же (94.10) на самом деле R независимых членов в общей сложности и могут быть переписаны в следующих форматах Y, ScX (a) {C) x (P \ CT = gtap, (94.11) Здесь сумма производится по r классу группы ( Буква C), ag c — количество элементов класса C.

Количество неприводимых выражений Количество классов, затем количество f ac = \ Jgc / e X ^ (G) формат Квадратная матрица r2 количество. О первых ортогональных отношениях Индекс fot.cfpc ~ $ a (s ^ затем следует автоматически Ортогональная зависимость второго индекса: faCfaC ‘= = Sec. Таким образом, наряду с (94.11) формула J 2 x (a) (c) x (a \ c r = -SCC’- (94.12) г с но Всегда в неприводимом представлении любой группы Есть одна тривиальная вещь, выполняемая одной функцией Базисный инвариант для всех преобразований Группа.

Это одномерное представление называется сингулярным. Все персонажи в нем равны единице. Для соотношения орто Одно из диагональных (94.10) или (94.11) выражений является единицей Но для другого мы получаем 5> (e) (G) = J] g c x (a) (C) = 0, (94,13) G c То есть сумма символов всех элементов во всех глупых группах Там нет личного выражения.

Использование отношений (94.10) позволяет легко генерировать время Наложение неприводимых выражений на неприводимые выражения, Если вы знаете оба персонажа. Пусть x (G) — любой приводимый характер Размерность деления f и число ^ ^ cn . , , , ^ ют, сколько раз включается соответствующий не привод Моя идея такая г = f (94,14) 0 = 1 (/ ^ — размерность неприводимых выражений).

Тогда характер Terra X (G) можно записать как г X (G) = J 2 ^) x m (G). (94.15) / 3 = 1 §94P R E D S T A V L E N I G R A P 455 Умножьте это уравнение на X ^ (G) * и сложите все G. Сияющий благодаря (94.10) а ^ = — ^ х (0) х (а) (0 G. (94,16) 8 грамм С учетом представления размерности / = г моя функция g Gijj, где φ — функция координат Общий вид (все g функции являются Gxjj Линейно независимый), такой взгляд обычно называют Ним все матрицы этого представления Сохранить диагональные элементы.

Матрица, соответствующая элементам блока. Таким образом, Когда GΦE x (E) = g, x (G) = 0. Разбирать перед Если вы помещаете неснижаемый, согласно (94.16) Значение a ^ = (1 / г) g fOL = f ^ a \, т.е. каждый Мой взгляд включен в цитату Количество раз, равное этому измерению. Подставьте это в (94.14) и найдите Дем соотношение / i2 + /! +. , , + / r2 = g; (94,17) Сумма квадратов неприводимых выражений.

Группы равны их порядку 1). В частности, группа Авеля (где r = g) Все неприводимые представления одномерны (D = / 2 = … , , , = / r = 1). Кроме того, если нет доказательств, размеры Светодиодное представление группы Линия. Не фактическая декомпозиция регулярных выражений Привод осуществляется по формуле 4 а) = (94-18) 8 грамм Легко видеть, что функция (r = 1, 2, …, / a) определяет Дается этим выражением для заданного значения k Друг друга b # 1 = £ e <«’ Я x).

Для облаков точек заданные уравнения r и g (94.17) На самом деле может быть заполнен набором целых чисел fi. , , , Только F r Одним уникальным способом. Они являются основой этого неприводимого представления. да По разным значениям, следовательно, получить / раз Индивидуальный набор базисных функций φ \ ° ^ Same Согласно неприводимым выражениям, тот факт, что каждый Неприводимые выражения включены в регулярные выражения Времена.

Любая функция φ может быть выражена как сумма Функции, преобразованные неприводимыми выражениями Группа. Эта проблема решается по формуле ^ = ЕЕWe)> 4а} = jЕ (94.19) G G Для доказательства подставьте первое второе выражение, Когда г суммируется, ^ = я E fa X (a> (G) G4>. (94,20) но Обратите внимание, что размер / а соответствует букве х ^ а \ и.

Использование элементов и соотношений групповых единиц Принимая ортогональность (94.12), всего ^ 2a faX ^ * (G) Отличается от нуля, только если G — единичный элемент (равен g) Групповой полицейский. Таким образом, правая часть (94.20) такая же упасть с F Две разные системы функций φ ^ * …, φ ^ И UI (P), (P), реализовать два неприводимых выражений Групповая халатность. Конфигурация продукта φ \ ° ^ φ ^ \ можно получить.

Система новых функций, которые могут служить основой для ф / с Новое представление размерности f af / 3 • Это представление Называется первый прямой (или Kronecker) продукт 2; неснижаемо только по крайней мере в одном случае Или fp равен 1. Легко видеть, что персонаж — прямой профессионал Работа равна работе обоих персонажей Общее выражение. Конечно, d << °> = • £ фΦM = Y Я к 1.

С этого момента символ, обозначенный как (x ^ x x ^) (G) Мы получаем (* <«> X x» 4) (G, = £ 6 ‘»^ = я, к г к (X (a) x xil3)) (G) = x (a \ G) x ^ \ G). (94.21) Оба умножения неприводимые выражения Конкретное совпадение, в этом случае два разных Серия функций и исполнительных функций Прямое произведение того же выражения и самого выражения Самореализованная функция / 2 VWfc?

И есть письмо (Х х х) {г) = [х {г)] 2. Это складное представление можно сразу разделить на два Представление меньших размеров (но, вообще говоря, все Еще цитирую). Один из них выполняется функцией / (/ + 1) / 2 C AND I M I ftsrk + Fkfg и другая / (/ -1) / 2 функция ftskr-ipkipi [rΦk) (функция каждого набора этих Только формируются друг с другом). Первый называется сим.

Метрический продукт самовыражения (его Буква обозначена x2), вторая анти Симметричный продукт (символ Символ {x2} (G)). Определить характеристики симметричного произведения Написать Gi’lpiifik + fk (rg) = ^ GiiGmktylVm + ‘ftp) = 1, т = «‘Y ^ (GljGmk H» GmiGik) (^ l (Pm V ^ n ^ /) * 1, т Итак, мы имеем для персонажа [x2] {G) = — ^^ (GuGkk + GikGki) • Я, к но £ G u = X (G), Z G = X (G 2); г г

Итак, наконец, получить выражение X2 = ~ {[x {G)} 2 +% (G2)}, (94,22 Уметь определять характеристики симметричного производства Мои собственные идеи с оригинальной природой Представление. Найти точно так же Характеристика асимметричного произведения формулы 1) <x2} (<?) = i {[x (G)] 2-x (<? 2)}. (04,23).

Если функции φ ^ и (μ совпадают, с их помощью Но очевидно, определяют только симметричные произведения, осы Это представлено квадратом φ2 и произведением ipi’ipk (iφk). в Приложение должно соответствовать симметрии Передовые знания, их персонажи Излучайте так же. Обратите внимание на важные характеристики прямых Знание.

Разложение двух разных прямых произведений Неприводимые выражения к неприводимым частям включают Одно выражение (и только один раз), только если Умножаемое представление является комплексным сопряженным В случае фактического выражения, единица предварительного Заявление включено только в продукт прямого привода Моя самооценка (и, очевидно, его Метрическая часть).

Конечно, Выражение (94.21) требует представления единицы (я согласен) Но (94.16)) просто обобщить его характер с G (и раздел Вылейте результаты в порядке группы g). заявление Затем оно продолжается непосредственно из ортогонального соотношения (94.10). Итак, сделаем несколько замечаний о неприводимом Групповые заголовки, которые являются двумя прямыми продуктами Не смешивать с другими группами (два прямых продукта Выражение той же группы! ).

функция Выполнить неприводимое представление группы А, функции То же самое верно для ψ ^ -группы B. Продукт φ ^ φ \ ° ^ основание / a / ^ -мерного представления группы A x B, и Сообщения не могут быть уменьшены. Характер этого взгляда Получается умножением соответствующих символов Активное выражение (см. Вывод выражения (94.21));

элемент C = группа AB Axe х (С) = х (а) (А) х ^ (В). (94.24) г) удобно обращать внимание на представление 2-х символов в размерности {x 2} (6d) соответствует определителю линейного преобразования G. Легко проверить прямым расчетом. §95Н П Р И В О Д И М Ё Ё П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Я Т О П Т Н И Х Г Р П 459 Следовательно, все умножения неприводимы друг к другу. Получить представления групп A и B, все неприводимые Представление группы A x B.

Смотрите также:

• Решение задач по физике

Группы преобразований	Неприводимые представления точечных групп
Точечные группы	Неприводимые представления и классификация термов

Если вам потребуется заказать решение по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.