Оглавление:
Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности
- Предельные точки, последовательность верхних и нижних пределов. Хьюстон s CG множество вариантов…И HP… И любая последовательность L1, K2, целых положительных чисел…КП……Выберем из последовательности{CP} элемент с номером KX, K2,…, ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ.,.. Отсортируйте указанные числа в порядке возрастания. Мы получаем новую последовательность, XY,, X&2,. . . Это не проблема. . . Это обычно называют p o d p O s l e d o V A t l n O s t y
исходной последовательности{CP}-в частности, сама последовательность{CP}имеет число kp=P.§3 субпоследовательности и произвольные последовательности 93 . Заметим сразу, что это всегда KP^n, так как для любой подпоследовательности, не совпадающей со всей последовательностью, возможно прореживание некоторых элементов последовательности. Верны два тривиальных утверждения: 1°. Когда последовательность{CP}сходится к пределам a, частичная последовательность называется a. сходится к тому же пределу 2°. Когда все подпоследовательности последовательности сходятся, все они сходятся к одному и тому же ограничению a(вся последовательность сходится к одному и тому же ограничению a).
Давайте сначала докажем это утверждение до 1°. Зафиксируйте любое Людмила Фирмаль
положительное число e, используйте сходимость последовательности{CP}для ограничения a и выберите число N этого e так, чтобы|CP—a / ) бесконечной прямой называется точкой последовательности{XP}. Давайте убедимся, что определения 1 и 2 эквивалентны. 1) окрестность e x содержит бесконечно много элементов последовательности{x»}. Рассмотрим множество e-окружностей точки X. 1 Лл»»» • • • ‘» > • • • • 2 3 П В первой из этих областей выделяют элементы последовательности xy1 из нескольких кг,во второй из этих областей-элементы последовательности x*2 из
числа кг, удовлетворяющие условию kg>kg, в теории пределов. Выберем элементы последовательности Xk3 с числом KZ, удовлетворяющим условию KZ>&2■■■ ■ * этот процесс может продолжаться бесконечно, в любой е окрестности точки X. Результатом является подпоследовательность XY,,Xk3,•••. От X до p. . . Для 1hcp последовательность{CP} — x\< — сходится к пределу x. n2) предположим, что подпоследовательность, сходящаяся к пределу x, может быть отличена от последовательности{XP}. Существует бесконечно много элементов подпоследовательности в любой
- окрестности точки x(все они начинаются с определенного числа). Так как каждый элемент в подпоследовательности является элементом всей последовательности, то в окрестности X бесконечно много элементов. Доказана эквивалентность определений 1 и 2. Выясняется проблема существования точки разрыва в ряду сходимости. Л Е М М А1. Каждая последовательность сходимости имеет только одну ограничительную точку, которая соответствует пределу этой последовательности. Д О К а з а т е л ь с Т В О. и поскольку окрестность е x существует в мириадах элементов последовательности{xn} (все они начинаются с определенного числа), x остается доказать, что это точка разрыва последовательности{Xn}. Показан пример ограниченной строки{CP}с двумя предельными точками. Докажем, что последовательность k1 D _ _ 1 _ _ _ 1 _ _ K Два. ‘1 2’ 3 ‘ 3……… 1 Девять. П Один. п Имеет только две точки разрыва x=0 и
x=1. Тот факт, что эти точки x=0 и l=1 ограничены, остается доказать, что подпоследовательности всех нечетных элементов рассматриваемой последовательности сходятся к пределу x=0, а число XO, отличное от рассматриваемой последовательности 0 и 1, является предельными точками последовательности. Поскольку XO=O и XO=^T, то, конечно, можно указать небольшое положительное число e такое, что e-соседи трех точек 0, 1 и x0 не имеют ничего общего(рис. 3.1).§3. Любая последовательность 95 Отчет е6 Х О Е & Один. э э э Рис 3.1 Однако все странные элементы нашей последовательности, некоторая комната находится в окрестности 0 e, и все четные элементы нашей последовательности находятся в окрестности числа 1 e, поэтому только конечное число элементов нашей последовательности может находиться вне окрестности
E чисел 0 и 1 (особенно в E это означает, что x0 не является предельной точкой последовательности. Приведем пример ограниченной Людмила Фирмаль
последовательности{CP}с бесконечным числом точек разрыва. Выше (Глава 3, Глава 7, Раздел 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел из отрезка[0,1]может быть пронумеровано в последовательности{x»}. Докажите, что любой вещественный x из отрезка [0,1]является точкой разрыва данной последовательности{xn}. Заметим, что даже если число сегментов[0,1]x равно 0 О п р ЕД е л я Е4. Минимальная точка поля последовательности{CP}называется самой нижней точкой этой последовательности, обозначаемой символом x=PT CP. п — ><х> Возникает вопрос о существовании хотя бы одного предела и верхнего и нижнего пределов любого ограниченного массива.96
канал 3. Теория пределов Следующие замечательные теоремы справедливы. О С Н О В Н А я т е О Р Е М А3. 16. Все граничные последовательности имеют верхний и нижний предел, особенно по крайней мере одну предельную точку. Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим доказательство существования хотя бы одной предельной точки и верхнего предела любого ограниченного массива. (Существование нижнего предела было доказано как well.It является ограниченным массивом произвольных. Из-за условия ограничения существуют два действительных числа PG и M, так что любой элемент последовательности XP{XP}удовлетворяет неравенству t^XPсправа*,
или такие элементы являются просто конечным числом. * Напомним, что термин «Y находится справа от x» означает, что x n y связано неравенством y>x. Другими словами, действительное число x принадлежит множеству{x}, если правая часть x не превышает конечного числа последовательностей{x}и не принадлежит множеству{x}, а правая часть этого числа x является числом последовательностей{x}. Заметим, что множество{x}, конечно, не пусто: оно принадлежит любому вещественному числу x, удовлетворяющему неравенству x>L1 (точка последовательности{XP}справа от такого x, далее ясно, что множество{x}может иметь границу снизу, а любое число, меньшее t, может быть взято в качестве нижней стороны (число, если вы хотите, чтобы оно было Согласно основной теореме главы 2.1, множество{x}имеет точную нижнюю границу, обозначаемую символом X.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
