Предел и непрерывность композиции функций

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Предел и непрерывность композиции функций

Предел и непрерывность композиции функций. Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов состава функций. Для./ Х ^ К§. YKK и требования f (X) y Тогда состав функции§° / и§или, как говорят, комплексная функция C [/(x)] определяется в множестве X. рассматриваемые ниже пределы um f (x) и um§(y) конечны x x x y®y Конечные или бесконечные, x и Y-конечные или бесконечные точки касания множества X и f (X) соответственно (см.§ 5.4). Теорема 6. Позволять./ Х ^ К§. Существуют Y ^ K, f (X) y и конечные или бесконечные пределы Его /(х)= г, (5.75） х®х (г); (5.76)） Г®Г Тогда для x> x существует также ограничение (конечное или бесконечное) комплексной функции C [/(x)], и далее ИТМ с [/(х)] = §ИТМ(г). х®х г®г Результаты.

Для каждого из них существуют соответствующие ограничения. Людмила Фирмаль

Для./ Х ^ К§. Г ^ К, Ф(Х) Y и функции/непрерывны при x∈, непрерыв функция является непрерывной на У = F (х), и сложная функция с [/(Х)] является непрерывной по Х. Двести двенадцать То есть непрерывная функция непрерывной функции непрерывна (но с меньшей точностью). Доказательство теоремы 6. Указывает предельное значение(5.76） После 2. Это S (Y)= 2(2-число wo Или 1 бесконечности) и окрестность точки 2 (V = U) изменяется случайным образом. Тогда, согласно определению предела, так как окрестности точки y, V = g (y), существуют、 (5.77)） (5.78） г€г п д (г) тогда С (г)€^). Кроме того, для результирующей окрестности V (y), из-за наличия предела (5.75), присутствует окрестность= =Ж (x、 х€X ф ш (х), (5.79） И затем… А (х)€Д (Г)、）、 И так как f (x)€Y、 А (х)€г г г (г.). (5.8)） От достаточности условий（5.79）-（5.8）、（5.77）-（5.78）кстати, получается y = f (x).

Если включение (5.79) удовлетворено, (Рисунок 3） С [/(х)]€У2). Поскольку окрестность точки 2 (^X2) была необязательной, это означает, что для x ^ x функция C [/(x)] имеет предел, равный 2. ИТМ с [/(х)] = 2 = ИТМ с(г). н х®х г®г Утверждение следствий является частным случаем теоремы в этих случаях: y = It / / (x)= I (x) и It C (y)= C (y). х®х г®г Предположим, что точки X и y принадлежат, соответственно 2 * 3 Установите X и Y; следовательно, они являются точками касания). Он с [/(х)] = с(г)= С(Г)= С [/(* О）]Ш® * о. г®U вых Примечания: 1. Для./ X ^ K, s. X> K, существует предел(5.75), и множество У содержит окрестность Y (y) точки Y. д (рыскания) с г,(5.81)） Затем, в связи с наличием лимита (5.75), в окрестности точки Х, где Ж=Ж (х) присутствует,/(XЖЖ) и Q (г) образуются, и, следовательно, для функции/из XЖfunction, нет предела включения. /(Х Р Ф) М.

Таким образом, если вы передадите предел / функции/, вам может не понадобиться существование синтеза функции при дополнительных предположениях (5.81) и с / при условии theor6. It запускается автоматически. То есть, включение (5.82) сделано, так что есть состав c° / o. Примечания 2.Описание следствий теоремы 7 может быть записано в виде выражения. Он с [/(x)] = C [It /(x)], (5.83） Х®Х®Х Образно говоря, понятно, что операция перехода к пределу может быть заменена операцией взятия непрерывной функции. Фактически левая часть уравнения(5.83) равна [/(x)], что обусловлено непрерывностью функции с [/(x)] в точке X (см. следствие теоремы 6).[/(x)] правая часть уравнения равна, но она уже равна из-за непрерывности функции/в той же точке X.

Примечания 3.Формула, доказанная теоремой 6 Итэ с [/(х)] = ите с(г), (5.84） х®х г®г Здесь y = Um /(x), можно рассматривать как правило Х®х Подстановка переменных для вычисления пределов сложных функций. Выражение (5.84) может быть записано в следующем формате с использованием нотации для композита функции c°/: ИТМ (с°/) (х)= ИТМ (г). х®х г®г Примечания: 4. /Позволить мне. Х ^ К§. Y ^ K, f (X) и Y и It /(x)= y. In этот случай, согласно теореме 6、 Х®х Если в правой части уравнения (5.84) установлен предел (конечный или бесконечный), то соответствующий предел существует в левой части и эти пределы равны. Далее, отображение/. X ^ Y-это отображение 1-к-1 из множества X в множество Y. (То есть, существует имеет уникальную обратную функцию） Если это /(y)= X, и наоборот.

Конечные или бесконечные пределы в левой части уравнения означают, что существует соответствующий предел в правой части этого уравнения. Людмила Фирмаль

Так что, если предложение сделано, то предел есть (Конечная или бесконечная) она C [/(x)] существует тогда Х®х Если они существуют только в том случае, если существует (конечный или бесконечный) предел C (y)、 г®г Они равны. Это утверждение продолжает теорему 1, если оно применяется к функции/ 1 и конфигурации C°/ (C°/)° / 1.В соответствии с Теорема 6, из существования предела It /(y)= X и г®г Это (C°/) (x) означает, что существует предел Х®х Он ((с°/)°/ _1)(У)= К(С°/)(Х）、 г®г х®х Но (С°/)° / 1 =С°(/° / )=С. Поэтому существуют ограничения Оно. C (y), и это.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Пределы монотонных функций.	Ограниченность непрерывных функций.
Критерий Коши существования предела функции.	Промежуточные значения непрерывных функций.