Оглавление:
Предел функции в точке
Пусть даны два непустых множества и
. Если каждому элементу
ставится в соответствие один и только одни элемент
, то
называется функцией
аргумента
. Это записывается в виде:
или
,
.
Пусть функция определена на некотором числовом множестве
. Точка
является предельной точкой этого множества, т. е. в любой малой окрестности точки
содержатся
, отличные от
. Точка
может принадлежать множеству
, а может и не принадлежать, т. е. функция может быть и не определена в точке
.
Функция имеет предел
(конечный или бесконечный) при
(в предельной точке
), если для любой стремящейся к
последовательности значений аргумента
, входящей в область определения функции, но не равных а, соответствующая последовательность значений функции
всегда стремится к
.
.
Число называется пределом функции
в точке
, если для любого сколь угодно малого
, существует такое
, что при всех
удовлетворяет условию
следует неравенство
. Этот факт принято записывать так:
.

Свойства пределов
- Функция
называется бесконечно малой при
, если
.
- Функция
называется бесконечно большой при
, если имеет место одно из равенств:
- Функция —
бесконечно мала при
, если
— мала.
- Если функции
и
бесконечно малы при
, то
тоже бесконечно малы при
.
- Если
бесконечно мала, a
ограничена, то произведение
— бесконечно малая величина.
- Если
имеет конечный предел, а
— бесконечно велика, то сумма их — бесконечно велика, т. е.
, а
.
- Если
, a
, причем
в окрестности точки
, то
.
- Произведение двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая
.
- Если
, то
— бесконечно малая и
.
- Если
, то
— бесконечно большая и
.
Правила предельного перехода
1. Если , а
, то
2. Если , и
, то
3. Если , а
,
, то
.
4. Предел целой рациональной функции.
Если , то
, т. е. при отыскании предела целой рациональной функции можно в выражении функции заменить аргумент его предельным значением. Если
, то

5. При постоянном показателе степени можно переходить к пределу в основании степени при условии, что предел основания степени существует, т. е. .
6. Если существует и
, то

Задача №36.
Найти .
Решение:
{подставим значение
}

Задача №37.
Найти .
Решение:
При знаменатель равен 0. Следовательно, теорему о пределе дроби применить нельзя. Но так как
не входит в область определения функции и
, то разделим числитель и знаменатель на
.

Правило. Для того, чтобы определить предел дробнорациональной функции в случае, когда числитель и знаменатель дроби имеют пределы равные 0, надо числитель и знаменатель дроби разделить на
перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель равны 0, то надо повторить деление еще раз.
Задача №38.
Найти .
Решение:
Подставляя в данное выражение вместо значение -3, имеем неопределенность
. Числитель и знаменатель дроби раз-делим на разность
:


Делим еще раз числитель и знаменатель на :


Задача №39.
Найти .
Решение:
Имеем неопределенность . Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень дроби
.


Задача №40.
Найти .
Решение:
Так как имеем неопределенность , то теорему о пределе частного применить нельзя. Данное выражение преобразуем, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т. е. на
, получим

Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя и знаменателя дроби равен 0, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или, наоборот, после этого сделать необходимые упрощения и перейти к пределу.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Числовые последовательности задачи с решением |
Предел числовой последовательности задачи с решением |
Первый замечательный предел задача с решением |
Второй замечательный предел задача с решением |