Оглавление:
Предел функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
, кроме, быть может, самой точки
.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число называется пределом функции
в точке
(или при
), если для любой последовательности допустимых значений аргумента
, сходящейся к
(т. е.
), последовательность соответствующих значений функции
, сходится к числу
.
В этом случае пишут или
при
.
Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек
, достаточно близких к точке
, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа
.
Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число
называется пределом функции в точке
(или при
), если для любого положительного
найдется такое положительное число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
Записывают . Это определение коротко можно записать так:

Геометрический смысл предела функции: , если для любой
-окрестности точки
найдется такая
-окрестность точки
, что для всех
из этой
-окрестности соответствующие значения функции
лежат в
-окрестности точки
. Иными словами, точки графика функции
лежат внутри полосы шириной
, ограниченной прямыми
(см. рис. 110). Очевидно, что величина
зависит от выбора
, поэтому пишут
.
Пример №16.1.
Доказать, что
Решение:
Возьмем произвольное , найдем
такое, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
, т. е.
. Взяв
, видим, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
. Следовательно,
Дополнительный пример №16.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Уравнения плоскости в пространстве |
Числовые последовательности |
Односторонние пределы |
Предел функции при х к бесконечности |