Оглавление:
Понятие предела функции двух действительных переменных вводится аналогично случаю функции одной переменной.
Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству
, называется
-окрестностью точки
. Другими словами,
-окрестность точки
— это все внутренние точки круга с центром
и радиусом
(рис. 25.8).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
, кроме, быть может, самой этой точки. Число
называется пределом функции
при
и
(или, что то же самое, при
), если для любого
существует
такое, что для всех
и
и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Записывают:
или
.
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к
( число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной
по двум направлениям: справа и слева).
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется
-окрестность точки
, что во всех ее точках
, отличных от
, аппликаты соответствующих точек поверхности
отличаются от числа
по модулю меньше, чем на
.
Все основные свойства и теоремы о пределах, установленные в лекции 9 части 1 для функции одной действительной переменной, обобщаются и на случай функции двух действительных переменных.
Пример №25.1.
Вычислите: .
Решение:
Используя свойства пределов, получим:
Используя свойства пределов, получим:

Ответ: .
Пример №25.2.
Вычислите: .
Решение:
Будем приближаться к по прямой
, где
— некоторое действительное число. Тогда
.
Функция в точке
предела не имеет, так как при разных значениях
предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).
Ответ: не существует.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: