Предел функции

Предел функции

Предел функции. Определите понятие предельной функции для многих переменных. Определение 2.C как определено функцией / набором Xy. E-подмножество множества Xy, а x(0) точка разрыва E. Число a называется пределом функции на множестве E в точке x (0) (или, в случае x, оно становится x (0).Последовательность против последовательности точек{!(Х(м））} Он сходится к числу a、 В этом случае вы пишете В предположении, аналогичном ранее сделанному методу для функции 1 переменной, мы можем дать другую переменную, соответствующую предыдущему определению ограничения функции многих переменных (см.§ 4.4 и§ 4.5). Определение 3. x, 0 [предельная точка множества E функций, содержащихся в функции X.

Используя термин ограничения функций, можно сказать, что наличие ограничения функций и значение в точке не зависит от выбора ограничения функций в любой окрестности точки и на пересечении с областью определения этой функции. Людмила Фирмаль

• Число a называется пределом функции на множестве E функции x (0) (или, как и x, стремится к Y0), если для e-0 существует 6 0, любые точки x> E, xpx(0 \ p(xr, xr y0′) 6, неравенство I /(x)-A | E составляется. Точно так же, как и в случае функции переменной 1, доказывается эквивалентность определений 2 и 3. Иногда вместе с указанным золотом/(y) Эквивалентная спецификация PT [(x） Упражнение. 1.Докажите эквивалентность 2 указанных определений пределов функций для многих переменных в множестве. 2. По аналогии со случаем функции 1 переменной сформулируйте и докажите критерий Коши для существования пределов функции многих переменных.

В конце концов, это не зависит от выбора указанной окрестности. Точное утверждение этого утверждения: Если определено в функции / наборе Множество Xy имеет предел SETC(окрестности i /(x (0)) этого множества°, точка x (0)), а функция / является множеством ппп (x (0)); кроме того, если есть заданный предел, они совпадают Если функция / ограничена множеством E (] и точкой x (0) выше (x0) по крайней мере 1 окрестности V (x0), то эта точка и множество E ограничены. Все это может быть сделано читателем самостоятельно, так как верификация очень проста. Свойство функции, не зависящее от выбора достаточно малой окрестности, содержащей определенную точку, называется в этом отношении локальным свойством функции.

• Очевидно, что наличие предела функции в одной точке и ее значение(если оно, конечно, существует) является локальным свойством функции в этом отношении. Из определения предела функции следует, что наличие предела функции в точке x (в случае некоторого множества) (0), а если и присутствует, то его значение не зависит от значения самой функции в точке x(0) (если оно определено в этой точке). 1. E (если x (0) является окрестностью x (0), то множество называется проколотой окрестностью x (0). Определение 4.Если функция/определена в проколотой окрестности O (x [0) точки x (0n) , то предел функции[x (0) этой проколотой окрестности просто называется пределом функции в точке/.

Определение 5.Предел функции/ в точке x (0) в точке X (18.2) (см. Определение§ 24) и функции/ в точке x (0) в точке X (0) в точке I (см. Определение § 24), которая является проколотой окрестностью точки x [th), называется пределом функции / в точке x (0) в направлении линии I. Определение 6.(Если (см. Определение 2) является множеством точек кривой, проходящей через x(0), то предел функции на множестве х как x, где x переходит в x {0\, является точкой, называемой пределом функции вдоль этой кривой, где X переходит в 0 Очевидно, что если функция/имеет предел на точке xn, то эта точка будет существовать в любом направлении и вдоль любой кривой, и все эти пределы будут совпадать. Пиар и меры. пусть f (x, y)= 4 a. это выражение определяет функцию Положение всех точек на плоскости, кроме начала координат (0, 0).

Полезно использовать понятие проколотой окрестности или окрестности точки, в которой сама эта точка удалена, чтобы определить границы функций многих переменных таким же образом, как и в переменной. Людмила Фирмаль

• Исследуйте пределы этой функции в различных направлениях в точках (0, 0) .Уравнение прямой, проходящей через начало координат (0, 0) в направлении вектора (a, P), имеет вид x-aL,、 Y =нет, a2 + P2 0. /(a/, P0 = ^ ^ ^ 0 для 1 ^ 0, то есть существует ограничение любого направления, равное нулю. если y= x2, то [(x, x2)= -^ -, и, следовательно, предел вдоль параболы y-x2 Он существует, но будет равен 1/2. Таким образом, рассматриваемая функция имеет один и тот же предел в любом направлении, а указанный параболический предел существует, но отличается от общего значения направления limit. So, предел точек (0, 0) просто не имеет exist. As в случае функции от 1 переменной для функции предел многих переменных в наборе.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Многомерные векторные пространства.	Непрерывность функций.
Функции многих переменных.	Непрерывность композиции непрерывных функции.