Оглавление:
Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и
, который основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки
и обращаются в нуль в этой точке:
. Пусть
в окрестности точки
. Если существует предел
, то
.
Применим к функциям и
теорему Коши для отрезка
, лежащего в окрестности точки
. Тогда
, где лежит между
и
(рис. 144). Учитывая, что
получаем

При , величина
также стремится к
; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Так как , то
. Поэтому
.
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции и
не определены при
, но
и
.
Достаточно положить и
.
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив
, получим

3. Если производные и
удовлетворяют тем же условиям, что и функции
и
, теорему 25.4 можно применить еще раз:

и т. д.
Пример №25.2.
Найти .
Решение:
.
Дополнительный пример №25.3.
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида . Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида
.
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки
(кроме, может быть, точки
), в этой окрестности
. Если существует предел
, то
.
Пример №25.4.
Найти .
Решение:

2-й способ:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Производная сложной и обратной функций |
Гиперболические функции и их производные |
Раскрытие неопределенностей различных видов |
Формула Тейлора для функции |