Оглавление:
Правило для исследования функции на экстремум вторым способом
- Найти
.
- Решить уравнение
.
- Исследовать знак второй производной. Если в этих точках
, то в этой точке будет минимум, а если
, то в ней будет максимум. Если
, то исследование надо провести по первому правилу.
Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:
1) определить критические точки функции;
2) вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка;
3) наибольшее из значений найденных в и. 2 будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке.
Если в рассматриваемом интервале имеется единственный экстремум, то в критической точке функция достигает наименьшего или наибольшего значения, смотря по тому, будет ли в этой точке минимум или максимум.
Задача №65.
Исследовать функцию на экстремум и найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3; 1].
Решение:
Область существования — бесконечный интервал .
1. Находим первую производную:

2. Для определения критических точек решаем уравнение

, откуда
и
.
Решая это уравнение, имеем точки .
Применим первое правило.
3. Критические точки разбивают область существования функции на интервалы: .
4. Для исследования в них знака первой производной нужно в каждом интервале выбрать произвольную точку. В первом интервале возьмём точку
, во втором —
, в третьем —
, в четвёртом —
.


5. Последовательность знаков первой производной в рассматриваемых интервалах запишется так:
при имеем минимум,
,
при — максимум и
, а
при — минимум и
.
Решим задачу вторым способом, т. е. исследуем функцию па экстремум с помощью второй производной. У нас критические точки: -4, -2, 0.
Найдём вторую производную функции .
Определяем знак второй производной в каждой критической точке:
, при
функция имеет минимум;
, при
функция имеет максимум;
, при
функция имеет минимум.
Найдём наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-3, 1]. Этому отрезку принадлежат две критические точки: и
.
,
. Для решения вопроса о наибольшем и наименьшем значениях функции надо рассмотреть значения функции на концах отрезка [-3,1]:
,
. Отсюда следует, что наибольшее значение функция имеет на правом конце рассматриваемого отрезка в точке
,
, а наименьшее — в точке
,
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: