Оглавление:
Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая лежит в плоскости
. Уравнения этой кривой запишутся в виде

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси
.
Возьмем на поверхности произвольную точку (см. рис. 88). Проведем через точку
плоскость, перпендикулярную оси
, и обозначим точки пересечения ее с осью
и кривой
соответственно через
и
. Обозначим координаты точки
через
. Отрезки
и
являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому
. Но
. Следовательно,
или
. Кроме того, очевидно,
.

Так как точка лежит на кривой
, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть,
. Исключая вспомогательные координаты
и
точки
, приходим к уравнению

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой на
, координата
сохраняется.
Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси , то уравнение поверхности вращения имеет вид

если кривая лежит в плоскости и ее уравнение
, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси
, есть
.
Так, например, вращая прямую вокруг оси
(см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение
или
). Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку и пересекающими данную плоскую линию
(не проходящую через
), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия
называется направляющей конуса, точка
— ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая задана уравнениями

а точка — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки
и
, пересечет направляющую
в некоторой точке
. Координаты точки
удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки и
, имеют вид

Исключая и
из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты
и
.
Пример №12.3.
Составить уравнение конуса с вершиной в точке , если направляющей служит эллипс
, лежащий в плоскости
.
Решение:
Пусть — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0; 0; 0) и точку
пересечения образующей
с эллипсом будут
. Исключим
и
из этих уравнений и уравнения

(точка лежит на эллипсе),
. Имеем:
. Отсюда
и
. Подставляя значения
и
в уравнение эллипса (12.27), получим
или
.
Это и есть искомое уравнение конуса.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Прямая и плоскость в пространстве |
Цилиндрические поверхности |
Множество действительных чисел |
Числовые множества |