Оглавление:
Потенциальные векторные поля
Потенциальные векторные поля. В этом подразделе теорема Стокса ссылается на допустимую поверхность 5 как приемлемую. Определение 10. Трехмерная область, O, называется простой связью, если существует замкнутый многоугольник, y, в O, с допустимой поверхностью, 8, простирающейся над многоугольником, y (см.§ 52.4). Просто Соединенные области можно также назвать поверхностно. Это просто связано. In в этом случае нужную поверхность всегда можно сфотографировать в виде конуса Она имеет вершину в любой фиксированной точке M«O, и ее направляющей является заданная кривая y. если; 2-й、 р = р («), 0 ′ Она является выражением этой кривой, где rn-радиус-вектор точки M0.Тогда искомый конус 5, который тянется вдоль заданного контура, определяется выражением. (52.30） Р = Р0 + о [р(х) Р0]、 0 == 2n, 0 и » 2 1.
Если рассматриваемая область D является выпуклой, то существует очень простой способ притянуть поверхность к контуру. Людмила Фирмаль
- Если рассматривать u и V как полярные координаты, то»представление»конуса задается единичной окружностью, а единичная окружность y®= = {{u, o).o = 1}идет по заданному пути y, а его центром является вершина конуса. (Рис. 214). Понятие поверхностного выражения вводится выше только тогда, когда параметры U и o являются Декартовыми координатами, поэтому слово»выражение»заключено в кавычки. Коническая (52.30) в общем случае имеет несколько точек, и если y-достаточно гладкая кривая, то есть непрерывная дифференцируемая кривая без сингулярности, она не будет кусочно гладкой surface. In кроме того, конус (52.30) имеет сингулярность, которая, вообще говоря, отличается от vertex. To устранить эту проблему проще всего, определяя просто связанные области, мы ограничились их рассмотрением только замкнутыми пунктирными линиями contours.
In в этом случае вершину конуса Md всегда можно выбрать так, чтобы конус был кусочно-гладким surface. In дело в том, что если выбрать вершину конуса в эдакте, если y многоугольника является его направляющей, то конус-это конечное число треугольников 5、-、1 = 1、2、…. он делится на k, но, скорее всего, вырождается-52,6. ..Потенциальное векторное поле В ny, то есть стал сегментом или точкой.1 из вершин этих треугольников будет вершиной конуса M0,а другая сторона будет 1 из разорванного звена Y. Каждый такой треугольник может рассматриваться как непрерывная дифференцируемая поверхность как можно больше раз и может быть определен представлениями, выполняемыми линейной функцией (см.§ 16.5 и (52.30)).Если треугольник вырожден, то все его точки единичны.
- Однако вы можете гарантировать, что любое малое смещение вершины конуса будет находиться в общем положении со всеми звеньями пунктирной линии y. то есть она не находится на линии, проходящей через звено с пунктирной линией Y. As в результате все треугольники 5, r = 1, 2,…поскольку k становится невырожденным, его можно считать гладкой поверхностью без сингулярности. Таким образом, сам конус 5 имеет кусочно-гладкую поверхность 5 =.{5,■} будет!■ = * * Кроме того, для каждого достаточно малого смещения каждой точки области, чтобы остаться в области, всегда можно выбрать вершину Mo конуса 5.In эта область, следовательно, из-за своей выпуклости, весь конус 5 находится в этой области. Теорему Стокса можно применить к полученному кусочно-гладкому конусу 5.То есть, этот конус является поверхностью, которая приемлема при этом time. So он доказал, что все выпуклые области просто связаны.
Напомним, что если циркуляция\ ad равна нулю вдоль замкнутой цепи, то поле называется потенциалом В И. О, или то же самое, если Интеграл$ adg не зависит от пути ТВ Интеграция, соединение в точках A и B областей O. для получения дополнительной информации об этом см.§ 52.1.In в простой Связной области мы можем видеть, что векторное поле становится скрытым только в том случае, если нет вихря. Это утверждение включено в теорему 6 ниже. Теорема 6.Предположим, что непрерывно дифференцируемое векторное поле α просто определено в Связной области—(«.?Щ. Тогда следующие 3 свойства эквивалентны. 1.Векторное поле a = a (M) это потенциал области O. 2.
Примером области, которая не является просто связанной, является тор, то есть область, образованная вращением круга вокруг оси, которая не пересекается. Людмила Фирмаль
- Существует потенциальная функция в O-u (M).То есть §gas1 или функция U (M), где то же самое, кажется, Ас=. 52.Скалярные и векторные поля 296. П ух −0_ \ (1У +©Ю. Г.. В. В этом случае, любые 2 пункта. A. EI и B E O и кусочно-гладкая кривая AB, соединяющая эти точки с 5 АИГ = у(Б) и(в). ТВ 3.Вектор a-a(M) не вращается. Иди! Для домена O, a = 0, то есть ДРЦ dO_® = ды др ду ДХ ДГ ду’ ДХ ДГ ’ Тем более, что теорема 6 подчеркивает, что непрерывно дифференцируемый векторный насос в просто связанных областях вероятен только в том случае, если это насос с наклоном скалярной функции. Кай. Доказательство. Схема Первый шаг. 1-2.Это утверждение, а именно.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
