Построение регрессионной прямой методом наименьших квадратов
Если, исходя из профессионально-теоретических соображений в сочетании с исследованием расположения точек на корреляционном поле или других соображений, предполагают линейный характер зависимости усредненных значений результативного признака, то эту зависимость выражают с помощью функции линейной регрессии. Эта функция, называемая эмпирической регрессией, служит оценкой линейной функциональной связи между результативным и факторным признаками.
На результативный признак оказывает влияние и ряд других факторов. Чтобы элиминировать (сгладить) влияние этих факторов, нужно произвести выравнивание фактических величин 
на основании предположения, что между 
и существует функциональная зависимость вида:
При этом фактические значения заменяются значениями, вычисленными па формуле
где 
— оценка условного математического ожидания 
, 
и 
— оценки неизвестных параметров 
и 
называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. В конкретном случае
где отклонение 
— оценка теоретического отклонения. Оценки и практически всегда отличаются от истинных значений коэффициентов и что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессий.
Так как все факторы, кроме фактора , рассматриваются как постоянные средние величины и выражены параметрами и , то и сглаженные величины представляют собой средние 
. Неизвестные параметры и входящие в уравнение (1.1), определяются методом наименьших квадратов:
Величина 
является функцией параметров и . Тогда, в силу необходимого условия экстремума, частные производные по и , должны быть равны нулю:
Выполнив преобразования и решив систему нормальных уравнений:
получим:
где
Оценки MHK являются: а) функциями от выборки (эмпирических данных); б) точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.
Эмпирическая прямая регрессии проходит через точку 
и среднее значений отклонений равно нулю 
. Случайные отклонения 
не коррелированны с наблюдаемыми значениями 
зависимой переменной 
.
Параметр называется коэффициентом регрессии. Он характеризует угол наклона эмпирической регрессии к оси 
(рис. 1.1).
Коэффициент регрессии является мерой зависимости переменной от переменной , т.е. указывает, как в среднем изменяется значение переменной при изменении переменной 
на одну единицу. Знак коэффициента регрессии определяет направление этого изменения.
Отыскание значений коэффициента регрессии представляет большей практический интерес, если ставится вопрос о прогнозе изменений какого-либо показателя в связи с изменением того или иного условия. В частности, коэффициент регрессии используется для определения эластичности спроса и потребления.
В общем случае коэффициент эластичности представляет собой процентное изменение результативного признака при изменении факторного признака на один процент. Он вычисляется по формуле
где — коэффициент регрессии; 
— средние значения соответственно факторного и результативного признаков.
Например, коэффициент эластичности потребления выражает процентное изменение потребления или спроса на данный товар при изменении известных условий (дохода, цены и т.д.) на один процент.
Параметры и прямой регрессии — не безразмерные величины.
Постоянная регрессии имеет размерность признака . Размерность коэффициента регрессии представляет собой отношение размерности результативного признака к размерности факторного признака.
После вычисления оценок параметров регрессии и , а также средних значений 
по формуле 
вычисляем остатки
которые используются в качестве характеристики точности оценки регрессии или степени согласованности расчетных значений регрессии и наблюдаемых значений переменной . Для характеристики меры разброса фактических данных 
вокруг значений регрессии вычисляют дисперсию остатков:
Геометрический смысл параметров прямой регрессии следует из рис. 1.1.
Используя дисперсию остатков, можно указать среднюю квадратичную ошибку коэффициента регрессии:
Кроме уравнения регрессии 
на 
для тех же эмпирических данных может быть найдено уравнение регрессии на :
Коэффициенты 
и 
находятся по аналогичным формулам:
Как уже отмечалось, функция регрессии указывает, в какой степени изменяются значения результативного признака в соответствии с изменением факторного признака. Однако этого недостаточно для глубокого изучения их взаимосвязи. Нужно измерить еще интенсивность между изучаемыми факторами. Оценки, полученные с помощью уравнения регрессии, имеют точность тем большую, чем интенсивнее корреляция.
Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»
Предмет эконометрика: полный курс лекций
Эти страницы возможно вам будут полезны:
