Постановка вопроса. Интеграл Дирихле

Оглавление:

Постановка вопроса. Интеграл Дирихле

Постановка вопроса. Интеграл Дирихле. Пусть/(x) — непрерывная или кусочно-непрерывная функция с периодом 2-K. Вычислить константу(ее коэффициенты Фурье)): л л в — ^-у/(я)сөз ли ти, ЛТ-у/(я)§литий 1П ТИ(1)(т=0,1,2,…) (Т-1,2,3,… И на них делают ряд Фурье

нашей функции. Поп Т Н4-NT81p-го). (2) t=I читатель заметил здесь небольшое отклонение от обозначения n°397: коэффициент A0 мы, в отличие от формулы предыдущего числа (7), определяем по общей формуле at l/g=O, если функция P (I)

кусочно непрерывна в любом конечном интервале, а также имеет период 2k, P (и 2TS)=), Я-величина Людмила Фирмаль

интеграла А+2л П У (а) Ли и. Длина интервала не зависит от 2ц. Действительно, в случае непрерывной функции P, ограничивающей себя, мы имеем А+2l0 2л+2л §Р (я)ли — §р (я)ли — | — р(н) Li4-Р (Я)ли. На 0 2л Произведите подстановку на последний Интеграл, и если=<2Y — \-1>, то это будет Интеграл Только Y G (^+2l) L=G R (1) L1o o и знак отличаются от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый

Интеграл равен интегралу 2л П (я) ли, 380CH. XXIV. ряд Фурье(399 Этот результат легко расширить в случае кусочно-непрерывных функций. Мы будем использовать это замечание в будущем. В частности, Формула (1), определяющая коэффициенты Фурье, позволяет интегрировать любой промежуток длины 2K. 2К у=± — у/(ч)поп Т хй ч,о 2л =/(х)^т х (1х (1А) о(Л7=О, 1, 2,…) (t=\, 2, 3,…) И так далее. Чтобы исследовать поведение ряда(2)в некоторой точке x=x0, составим

удобное выражение для его частичной суммы п (о)=у+2S0 8Т х^+б т§1П Т Х^ — Т-1 Подставьте их интегральную Формулу (1) вместо At и Yt и суммируйте число соз X^81pth^под интегральным символом: 5П{х^=~Г/(Я)Г П+ — л п л Сөз ти сөз м§ -] — 81p ti81P й$\Ух= т= — л л р=у/(я)(у+2S0 8Т(я —«)} л я ‘ — 1л Т=1 -1:Р(«)1 Легко проверить Id Р4+2 Т=1 Соз та=399]§2. Разложение функции в ряд Фурье 381 Используя его для преобразования подынтегрального выражения, мы, наконец, получаем п 81P (2p+1)^ -^ — 2 81р Я-х ( Два- Ах (3) Этот Интеграл обычно

называют интегралом Дирихле(хотя он намного быстрее в преобразовании Фурье!да что с тобой такое? Так как интервал Niu может Два. Я-х » ^и — 281P_ _ л * п (о)= -^ Здесь мы будем иметь дело с функциями от и period2ts, затем интегралы [- K, K]заменяются приведенными выше замечаниями(например, интервал[x0-K, x0 4-TS]: R8SH(2П+1)» — з°- Н0-л Преобразуйте этот Интеграл в следующий вид, присвоив 1=и-x0 Л1 (81p(п+ — п р 5л (Л:О)=-1/(-^О+О———- 1—— м. —

ТК 2 8Ш I Затем Интеграл делится на два: m, что приводит ко второму Инте-0-l Гралю путем изменения знака переменной на интервал[0, Людмила Фирмаль

TS], такой функции для частичной суммы рядов Фурье.: [о/С+0*о+/(-0] * ) В этом случае нет никаких ограничений на интегральное представление на. (4) Особенностью задачи, показанной здесь, является, в данном случае, маргинальный переход под знаком интеграла*), и до сих пор [глава XVIII] не может использовать us382 глава XXIV. ряд Фурье[400 Единственное средство-найти пределы интеграла, включая параметры. И именно такое положение дел мы должны систематически рассматривать в этой главе.

Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье	Основная лемма
Ортогональные системы функций	Принцип локализации