Понятие равномерной непрерывности функции

Понятие равномерной непрерывности функции

• Понятие равномерной непрерывности функций. Предположим, что функция Y=1 (x) дана такому множеству{x}, и каждая точка является точкой разрыва этого множества. Примерами таких множеств являются отрезки, интервалы, половинки, полупрямы, полупрямы, бесконечные линии, множество всех рациональных точек,

принадлежащих одному из этих множеств. Функция y-1 (x)называется p a в n o A в множестве{x}называется p R e s в n o y in, для любого положительного числа e, любых двух, удовлетворяющих условию/x’ — x» / <6 (4.29)Z A m e h a n I e1. Сразу подчеркнем, что если функция CX) равномерно непрерывна по множеству{x},

то она непрерывна во всех точках x множества{x}. Фактически, если вы возьмете Людмила Фирмаль

сформулированное определение как x «множество{x}в заданную неподвижную точку x0 » и возьмете любую точку в этом множестве, x’—это будет определение функции/(x) непрерывности в точке x0. З а м е ч а н и Е2. Основное определение равномерной проводимости, составленное RM, является требованием, гарантированным§6. Локальные и глобальные свойства непрерывной функции 177

Наличие e>0 такой универсалии b>0 обеспечивает справедливость неравенства (4.29) для всех точек x’ и x’множества{x}, удовлетворяющих условию|x ‘—x » \<6. Если вам нужна непрерывность функций/(x) в каждой точке множества XO{x}, для любого e>0 и любой точки x0, чтобы обеспечить наличие»вашего»положительного числа b=b (E, Ho), в этом случае, в общем случае, все точки XO в множестве{x}, не может быть точной нижней стороны указанного b(e, XO). Равномерная непрерывность функции над множеством(x) обычно не следует из непрерывности этой функции во всех точках XO множества (x). З а м е ч а н и Е3. То

• есть, если функция/(x) равномерно непрерывна по множеству{x}, то эта функция равномерно непрерывна для любого подмножества множества{x}. Рассмотрим пример функции, обладающей и не обладающей свойством равномерной непрерывности на заданном множестве{x}. 1. Давайте убедимся, что функция CX)=-равномерно не-X Половина линии x>1 прерывна. Фактически, для любых двух точек, указанных X’ и X ‘ полупрямой, выполняется неравенство |/(Х’)-/(Х»)|=0, то условия X ‘и x» полупрямы[1,+OO) — x’ / 0 и d l i L y b O g o d n o m a l o go b>0, минимальное число точек x’I-x ‘интервала (0,1), число точек X’ I-x ‘ равно Эта функция является непрерывной в

каждой точке интервала- |x’ — x»|8. * (0,1).178Ч. 4. Непрерывность функций Рассмотрим две последовательности точек, принадлежащих интервалу (0,1), {x’P}и{%»»}с элементами «I-p» I — +2-2 Обе эти последовательности, а следовательно, и разница между ними, бесконечно малы. Итак, для любого произвольного малого b>0,\x» — x » [0 и для любого малого b>0, если пара точек x ‘и x’ находится из интервала (0, 1)/x|—XP»\<8,//(XL’)—|(XL’) / >e, это означает, что рассматриваемая функция однородна на интервале (0, 1). Заметим, что та же функция/(x)=81p — не интервал (0,1), а интервал (y, 1), где X y-любое число интервалов 01. Заметим, что неравенство справедливо для двух точек X ‘и x» полупрямой x>1 !/(‘)-/(«) 1 = 1(О2 — (х»)21= (4.зо’): =|Х’+Х»|•\Х’—Х»>Х’•|Х’-Х». Здесь не только для n E K o o R o o g o g o e>0, но и для l y b O th e>0 и любого произвольного малого b>0,

‘полупрямого x>1 точки x’и соответствующего значения x’. \x’ — x»|») 1>E. (Это означает, что в рассматриваемой полупрямой верхней Людмила Фирмаль

функции/(x)=x2 отсутствует равномерное свойство непрерывности.Исправлены любые e>0 и b>0, а x’2E x> — O больше любого числа Затем поставьте x’=x’+—. Такие x ‘и x»будут истинны§6. Локальные и глобальные свойства непрерывной функции 179 Неравенство / x’ — x»/= -<&. С другой стороны, благодаря (4.30) для тех же x ‘и x»будет справедливо неравенство Обратите внимание, что если вы рассматриваете ту же функцию>/(x)=x2 как полупрямую x>1, но не произвольный Сегмент[1, B] (где B-произвольное число), вывод больше не будет иметь места. Этот факт раскрывается следующими основными теоремами: О С Н О В Н А я т е О Р Е М А4. 16. Если функция} (x) непрерывна на отрезке[a,B], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Д О К а з а т е л ь с т в о. предположим,

что функция/(x) непрерывна в отрезках[a,B], но не равномерно непрерывна в этом отрезке. Тогда о некоторых e>0 и любых малых. 6>0\x’ — x»\<§, но есть две точки x ‘и x’ в отрезке[a, B], как|/(x’) — » / () I>E. * Если он совпадает с одним концом отрезка[a,B]’, непрерывность следует понимать как одностороннюю непрерывность. Выберем последовательность бесконечно малых положительных чисел b»= — (/1=1,2,…да что с тобой такое? Учитывая e>0 и для любого числа p, можно утверждать, что две точки отрезка[a, B]x/и XP»равно 1<—<1<-p N0 1/»)—/(O K>8-(4-31) seh&], она ограничена теоремой Больцано—

вейерштрассе3.3.16 (см. следствия из 3), Чтобы отличить сходящуюся часть (x’}, n=1, 2)….. Ограничение указанной подпоследовательности / (следствиями теоремы 2-3. 13 гл. 3) он также относится к сегменту[a,B]. Благодаря левому неравенству(4.31) соответствующая подпоследовательность{x’k}сходится к одной и той же точке, так как функция/(x) непрерывна в каждой точке отрезка[a,&].5 однако для определения непрерывности Гейне подпоследовательность соответствующих значений функций{NX)} и W x K)} должна сходиться к/ (|), То есть непрерывности указанной функции. если вы хотите

использовать опцию-N, вы можете использовать опцию-N. Это противоречит правильному неравенству(4.31), которое верно для каждого числа n, а следовательно, и для каждого числа KP-противоречие в результате состоит в том, что доказана теорема отрезка[a, B]. Давайте вернемся к примеру 2 выше и покажем, что функция/(x)=zsh — — — равномерно не является x Рывок на любом y от 0=M-t.функция} (x) для этого отрезка. Для непрерывной функции сегмента[C,y]DX вибрация равна разности между максимальным и минимальным значениями этой функции в указанном сегменте. Следующее утверждение непосредственно вытекает из теоремы 4.16. С Л Е Д С Т В и Е о т е р е м ы. 16. Если функция CX) смежна на

отрезках[a, B], то для любого положительного числа e существует соответствующее положительное число 6, и вибрация такой функции [(x) равна вибрации отрезка[a, 6].] З а м е ч а н и Е 4. Если проанализировать доказательство Вейерштрасса и теорему 4.16 теоремы 4.14 и 4.15, то в этих трех теоремах вместо отрезков[a, B] выполняется требование 1. Множество (x)для удовлетворения вышеуказанных двух требований мы согласны назвать К О М Н А К т н ы м н о й ест м§6. Локальные и глобальные свойства непрерывной функции 181 Или К О М П А К т о м. Таким образом, эти три теоремы(т. е. две теоремы Вейерштрасса и теорема 4. 16) используются для непрерывных функций на отрезке, а также для непрерывных функций на любом компакте.

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Локальные свойства непрерывных функций	Понятие модуля непрерывности функции
Глобальные свойства непрерывных функций	Открытые и замкнутые множества