Вычислять двойные интегралы как пределы интегральных сумм весьма затруднительно, поэтому возникает естественная задача о разработке техники двойного интегрирования, минуя непосредственное суммирование и предельный переход.
Важнейшим результатом в этом направлении является формула сведения двойного интеграла к повторному. Определим понятие повторного интеграла.
Пусть на отрезке 
заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
, 
, и пусть на области 
(рис.29.1.) определена функция 
.
Если для любого фиксированного 
функция , как функция переменной 
, интегрируема на отрезке 
, т.е. при любом существует интеграл 
, и функция 
интегрируема на отрезке , то интеграл 
называется повторным интегралом и
обозначается через 
.
При этом называется внутренним интегралом;
и 
— внутренними, 
и 
— внешними пределами интегрирования. Если внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными, то внешние пределы постоянны всегда.
Для вычисления повторного интеграла надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл , в котором переменная 
считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от до .
Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.
Пример №29.1.
Вычислите повторный интеграл 
.
Решение:
Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:
Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда
Для сокращения записи все вычисления можно записать следующим образом:
Ответ: 
.
Следует заметить, что для функции , определенной на области 
понятие повторного интеграла вводится аналогично рассмотренному ранее. При этом повторный интеграл обозначается через 
.
Здесь при вычислении внутреннего интеграла постоянной считается переменная 
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Понятие двойного интеграла. |
| Свойства двойных интегралов. |
| Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. |
| Геометрический смысл двойного интеграла. |
