Оглавление:
Понятие ортонормированного базиса и его существование
- Понятие ортонормированного базиса и его существование Nie. Ваши 2, n-мерные линейные базовые понятия Блуждая. В линейном пространстве все основания равны нет, и не было причин отдавать приоритет одному стандарту другому. Евклидово пространство имеет что-то особенное и особенно полезное.
- Эти основания называются ортонормированными. Эти базы Играет ту же роль, что и прямоугольная декартова основа в анализе Геометрия. Перейдем к определению ортонормированного базиса. Определение n элементов ei, e2, …, en n-мерное евклидово пространство E образует ортонор Если эти элементы попарно ортогональны, основой этого пространства.
Норма каждого из этих элементов равна 1, то есть {1 = r, k ,. P — A U DL0) 0 для р ф к. Людмила Фирмаль
Установить точность сформулированного определения Департамент, необходимо доказать, что это элемент, включенный в это определение ei, e2j …, en образуют одно из рассмотренных n-мерных базисов Пространство E, и для этого достаточно доказать, благодаря теореме 2.5 Эти элементы ei, e2j …, en линейно независимы, т.е. состояние + a2e2 + … + apep = O D.11)
Возможно только если a ± = a2 = … = an = 0. Давай докажем это. Пусть k будет числом 1, 2, …, n. По равенству D.11) является скаляром для элемента e &, используя аксиомы Скалярное произведение и отношение D.10), получаем OLk = 0. В настоящее время мы доказываем следующие основные теоремы. Теорема 4.3. Все n-мерное евклидово пространство E Существует всемирная база Орторсона.
Доказательство. Согласно определению размерности Пространство E имеет n линейно независимых элементов f \ ,? 2 2 >> •••? фн • Докажем, что n элементов ei, e2, …, en можно построить линейно f \, f2, …, fn, образующие ортонормированные Базовый (т.е. удовлетворяющий соотношению D.10)). Докажите возможность построения таких элементов Товарищ ei, B2, …, ep по математической индукции.
Если есть только один элемент f \, создайте элемент Для нормы с ei, равной 1, достаточно нормализовать элемент f . То есть этот элемент умножается на число [- \ / (fi, fi)] ~ 1 и обратно пропорционально его норме Я 9). В этом случае элемент ei = [^ (fi, fi)] ~ 1fi приобретается нормой.
Равно 1 Предполагая, что m является целым числом меньше, чем n, построить m элементов ei, b2, …, es и представить их линейно fi, f2, …, fm, попарно ортогональные, нормы равны Ночной блок. Докажите, что эти элементы ei, b2, …, em могут Присоедините еще один элемент em +1. fi, f2, …, fm +1, ортогональный каждому элементу ei, b2, …, em И имеет норму, равную 1.
Убедитесь, что этот элемент em + i имеет следующий формат ega + 1 = ^ m + l [fm + l ~ (fm + b em) et ~ (fm + b em-l) em-l -… D.12) Где al + 1 — действительное число На самом деле, элемент em + i f 1, f2, …, fm +1 (из-за того, что оно выражается линейно при ei, b2, …, em, fm + i, и каждый элемент ei, b2, …, em является линейным f1, f2, …, fm). Это элемент em + i, если am + i 7 ^ 0
- Не намеренно ноль (в противном случае Нулевой элемент линейно независимой линейной комбинации. Благодаря элементам f \, f2, …, fm + i, B, D.12) фм +1 с нулевым коэффициентом). Кроме того, из того факта, что элементы ei, B2, …, et попарно ортогональны И с нормой, равной единице, непосредственно из отношения D.12) В результате скалярное произведение (em +1, e ^) Число k равно 1, 2, …, t. Для завершения индукции, число + 1
Однако выберите так, чтобы норма элемента D.12) была равна 1. выше Для am + iΦ0, элемент em + i, поэтому Элементы, заключенные в D.12), не заключены в квадратные скобки Левый. Поэтому для нормализации элементов, содержащихся в Квадратные скобки должны быть положительными взаимными 9) Линейно независимые элементы fi, f2, …, fn.
Норма fi больше нуля, потому что может быть ноль элементов. 7 * 100 гл. 4. Людмила Фирмаль
Евклидово пространство Норма этого элемента заключена в квадратные скобки. в Норма em + i равна 1. Теорема доказана. Доказанная теорема приводит к следующему шагу Поэтапно алгоритм построения заданной системы n линейно независим элементы f \, f2, …, fn системы из n попарно ортогональных элементов полицейские ei, e2, …, en, каждая норма равна 1: = f3- (f3, e2) e2- (f3j
Указанный алгоритм обычно называют процессом ортогонализации- Линейные независимые элементы f1, f2, …, fn. Замечания. Конечно, во всех n-мерных евклидовых пространствах E имеет много ортонормированных оснований. конечно Например, при построении ортонормированного.
Ортогональная основа Локализация однотипных линейных независимых элементов f \, f2, … …, fn, затем запустите процесс ортогонализации с различными элементами f / Разнообразие ортонормированных основ достигается. Ниже в § 2 § 7 глава 7, различные вопросы Ортонормированный базис для данного евклидова пространства E.
Пример ортонормированного базиса — декартов. Прямоугольное основание евклидова пространства для всех свободных векторов паз или набор из n элементов ei = A, 0, 0, …, 0), e2 = @, 1,0, …, 0), ep = @, 0, 0, …, 1) Евклидово пространство En для всех упорядоченных коллекций n Действительное число скалярного произведения D.2).
Смотрите также:
