Введем сперва понятие однородной функции: функция называется однородной функцией
-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на
, т.е.
.
Пример №39.1.
Доказать, что функции и
— однородные функции второго порядка.
Решение:
Рассмотрим функцию . Подставим в нее вместо
, а вместо
:
. Получили, что
, следовательно, по определению
— однородная функция второго порядка.
Рассмотрим функцию . Аналогично подставив в нее вместо
, а вместо
, получим:
. То есть
, откуда по определению
— однородная функция второго порядка.
Дифференциальное уравнение вида , где
и
— однородные функции одинакового порядка, будем называть однородным.
Так, дифференциальное уравнение будет являться однородным в силу того, что обе функции при
и
— однородные второго порядка (см. пример 39.1).
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: