Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен -1. Обозначим его буквой (от фран.
— мнимый) и будем называть мнимой единицей. Таким образом,
, а
.
Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать квадратные корни даже из отрицательных чисел. Например, .
Рассмотрим степени мнимой единицы:

Легко заметить, что значения степеней числа повторяются с периодом, равным четырем. Тогда для нахождения любой натуральной степени числа
можно использовать следующие формулы (
):


Пример №42.1.
Вычислить: .
Решение:
Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности.
(если показатель степени числа
разделился на 4 без остатка, т.е.
, то применяем формулу
);
(по формуле
, в нашем случае
);
(по формуле
, в нашем случае
);
(по формуле
, в нашем случае
).
Тогда .
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: