Понятие функции

Понятие функции

• Функциональная концепция. Предположим, что xiu — это две непрерывные действительные переменные, которые можно геометрически представить с расстояниями A0H = qr и B6Q = zyf, измеренными вдоль двух прямых A и M от неподвижных точек A0 и B0. Представьте, что положения точек P и Q не являются независимыми, а связаны какими-то отношениями. Это можно рассматривать как отношения между х и у. Так что, если P известен, Q и y также известны.

Например, вы можете принять y = x. Или 2x, или y *, или xr +1. Или вы можете использовать явную формулу для y, выраженную через x, и дать геометрическую структуру, которая не дает отношения между x и y и может найти Q, когда P известен. В этих условиях они говорят, что у является функцией от х. Это представление о том, что одна переменная функционально зависит от другой, является наиболее важной концепцией во всей высшей математике. Чтобы помочь читателям быть уверенными в точности и ясности усвоения этой концепции, в этой главе используется ряд примеров.

Во всех этих случаях значение x определяет значение y. Людмила Фирмаль

Однако, прежде чем перейти к этим примерам, следует отметить, что простой пример функции, уже показанной выше, имеет три свойства, которые никогда не встроены в общую концепцию функций. (1) у определяется для каждого значения х. (2) Только одно значение y соответствует каждому значению x, где y определено \ (3) Соотношение между x и y выражается с использованием аналитической формулы, полученной прямой заменой последнего значением y, соответствующим конкретному значению q:. Фактически, мы обнаружили, что многие из наиболее важных функций имеют эти три характеристики.

Тем не менее, следующий пример ясно показывает, что они не являются существенными для функции. требуется Должна быть некоторая связь между x и y, чтобы, по крайней мере, некоторые значения x соответствовали значениям y. X пример 1.v-x или 2x, или -J, A ‘> и Pro и т. Д. Мы не будем ничего говорить. 2. Установите y = 0 независимо от значения x. В этом случае у является функцией х. Это связано с тем, что x может быть присвоено любое значение, а соответствующее значение y (т.е. ноль) известно.

• Решение задач по высшей математике

Точки накопления	Графическое представление функций
Теорема Вейерштрасса	Полярные координаты

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

• В этом случае зависимость функции коррелирует одно и то же значение y со значением x. То же самое Если так у было равно 1 или-^, или] / 2 и не было ноль. Такая функция у называется константой. 3. Пусть y2 = x. Затем, если x положительно, это уравнение определяет: Два значения ^, соответствующие каждому значению η: ± Y ~ x. x: если y = 0, y = 0. Следовательно, только одно значение y соответствует определенному значению нуля для переменной x. Если x отрицательно, никакое значение y не удовлетворяет уравнению. Это означает, что функция y не определена для отрицательных значений x. Таким образом, эта функция имеет свойство (3), но не свойство (1) и не свойство (2). 4.

1). A — площадь поверхности поршня, а W — его вес. Если поршень сбалансирован, W = Ap0, Где / 70 — давление газа на поршень на единицу площади поверхности. Пусть v0 — объем этого равновесного газа. Если вы приложите чрезмерный вес к поршню, поршень немного упадет. Объем газа v уменьшается, но давление газа p на единицу площади поверхности поршня увеличивается. Закон Бойля показывает, что произведение p n v почти постоянно. Если этот закон точен, отношение выражается уравнением вида pv = a, (1)

Рассмотрим определенное количество газа, хранящегося в баллоне с постоянной температурой и закрытым скользящим поршнем Людмила Фирмаль

Здесь а — это числовое значение, которое можно приблизительно определить экспериментальным путем. Тем не менее, закон Бойля дает реалистичное приближение, пока газ не будет чрезмерно сжат. Если v уменьшается, p увеличивается и превышает определенное значение, взаимосвязь между ними более точно не описывается в уравнении (1). В этом случае известно, что так называемый закон Ван-дер-Ваальса дает лучшее приближение к реальности. (2) Здесь a и y — числовые значения, которые можно приблизительно определить экспериментально.

Конечно, оба эти выражения, взятые вместе, не дают полного объяснения фактической связи между p и v. На практике это соотношение, несомненно, намного сложнее, и его морфология варьируется от видов, близких к (1), до видов, близких к (2). Однако с математической точки зрения для каждого значения v, большего или равного некоторому значению V, рассмотрим идеальное состояние, в котором соотношение (1) точно и (2) верно для всех значений v Не могу остановить это, меньше, чем V. Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие функциональную зависимость p от v вместе.

Это пример функции, которая определяется одним выражением для некоторых значений v и другим выражением для других значений v. Эта функция имеет свойство (2). Только одно значение p соответствует каждому значению v. Однако нет свойства (1), потому что p не определяется как функция от v для отрицательных значений v. «Отрицательный объем» ничего не значит, поэтому отрицательные значения v не учитываются. 5. Предположим, что абсолютно упругий шар падает с высоты g ** на неподвижную горизонтальную поверхность (без вращения) и каждый раз отскакивает. Хорошо известная формула базовой динамики, с которой вы, вероятно, знакомы, указывает, что h- + gtr для O ^ t ^ -z и A = yg (2x-t) 7 для x ^ t ^ 3 Все более и более в целом h = \ g (2nx-t) \ if (2n-1) x z ^ t ^ (2 / i -f 1) ^, где h — разница между начальным положением мяча и его высотой в момент времени t.

Где h также является функцией / и определяется только для положительных значений /. 6. Определите y как наибольшее простое число x. Вот пример определения, которое может быть применено к специальному классу значений, lm, целочисленное значение. „Максимальное время простоя Делитель y или y 2, или n «ничего не значит, и наше определение Отказывается предоставлять такое значение для х. Следовательно, эта функция не имеет свойства (1). У Ия есть свойство (2), но нет свойства (3), потому что нет простого выражения для y относительно x. 7. Если x выражено как неприводимая дробь, определите y как знаменатель x. Это пример определенной функции Для рациональных чисел в х. Так, например, если η = y, y = 7, но y e определено для x = yT.