С помощью частных производных высших порядков вводятся дифференциалы высших порядков функции двух действительных переменных. Как и частные производные, они определяются последовательно.
Рассмотрим функцию 
двух действительных переменных, обладающую непрерывными частными производными второго порядка. Ее полный дифференциал 
называют полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).
Поскольку 
и 
по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции 
, в свою очередь, можно взять полный дифференциал 
(). Таким образом, получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал). который обозначается 
.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от первого дифференциала:
Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, …, 
-го порядков, можно определить дифференциалы соответственно третьего,
четвертого, …, -го порядков.
Так, дифференциалом 
-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -1 порядка:
Найдем формулу для вычисления дифференциала второго порядка:
Отсюда: 
. Символически это записывается так:
Этот символ расшифровывается следующим образом. Сначала раскрываются скобки, как будто слагаемые в них числа, а число 2 — показатель степени. Затем числители полученных дробей умножаются на 
.
Формула для обобщается на случай 
:
Этот символ расшифровывается так же, как и для 
.
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь тогда, когда переменные 
и 
функции являются независимыми.
Рассмотрим пример нахождения дифференциала второго прядка функции.
Пример №27.4.
Найдите дифференциал второго порядка функции 
.
Решение:
Найдем по формуле: 
.
Сначала найдем частные производные первого порядка функции:
Затем найдем частные производные второго порядка функции:
Окончательно получим:
Ответ: 
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
