Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных

Оглавление:

Пусть Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных — некоторая функция двух действительных переменных. Частные производные и называют частными производными первого порядка. Частные производные первого порядка, вообще говоря, сами являются функциями двух действительных переменных. Поэтому для них также можно вычислять частные производные. По отношению к исходной функции эти производные от частных производных называются частными производными второго порядка. Итак, частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Функция Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных двух действительных переменных имеет четыре частных производных второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных — частная производная второго порядка функции по переменной ;

Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных — частная производная второго порядка функции по переменным и ;

Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных — частная производная второго порядка функции по переменным и .

Рассматривая частные производные от частных производных второго порядка, получим всевозможные частные производные третьего порядка. Например, Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных и т.д.

Аналогично определяются частные производные произвольного (высшего) порядка.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных .

Пример №27.1.

Найдите частные производные второго порядка функции Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных .

Решение:

Найдем частные производные первого порядка функции:

Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных

Найдем Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных как частную производную по переменной от :

Ответ: Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных

Анализируя пример 27.1, обратим особое внимание на равенство смешанных производных второго порядка: Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных . Оказывается, что значения смешанных производных второго порядка не зависят от того, дифференцируем мы функцию Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных сначала по переменной , а затем — по , или наоборот. Этот результат нс случаен. Имеет место теорема, которую мы рассмотрим без доказательства.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, если вторые производные непрерывны, то для Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных имеем:

Пример №27.2.

Найдите смешанные производные второго порядка функции Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных .

Решение:

Воспользуемся теоремой Шварца о равенстве смешанных производных второго порядка: Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных и найдем только одну смешанную производную, например, .

Найдем частную производную первого порядка функции по переменной Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных :

Ответ: Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных

Пример №27.3.

Найдите частные производные третьего порядка функции Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных из примера 27.1.

Решение:

Функция Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных двух действительных переменных имеет восемь частных производных третьего порядка:

Но по теореме Шварца получаем следующие равные смешанные производные третьего порядка:

Следовательно, фактически надо найти четыре частные производные третьего порядка:

Для этого будем использовать частные производные второго порядка Понятие частной производной высших порядков функции нескольких переменных и , полученные нами в примере 27.1.