Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки
. При фиксированном значении переменной
, например
, функция
окажется уже функцией только от одной переменной
. Таким образом, совершенно естественно возникает вопрос о построении дифференциального исчисления для функций двух действительных переменных аналогично случаю функции одной действительной переменной.
Придадим независимой переменной приращение
, оставляя значение
неизменным (другими словами, перейдем от точки
к точке
). Тогда функция
получит приращение
, называемое частным приращением функции в точке
по переменной
. Распространим определение производной функции одной действительной переменной на случай функции двух переменных.
Частной производной функции двух переменных по переменной
в точке
называется существующий предел отношения частного приращения функции в этой точке по переменной
к приращению этой переменной при условии, что последнее стремится к нулю:

Для частной производной функции по переменной
часто используются другие обозначения:
.
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции двух переменных по переменной
в точке
:

Таким образом, частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений другой переменной. Аналогично определяются частные производные функции трех и более переменных. Поэтому техника нахождения частных производных ничем не отличается от обычного дифференцирования, нужно только помнить, что при дифференцировании функции по какой — либо переменной все остальные переменные принимаются за постоянные.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: