Полнота множества вещественных чисел

Оглавление:

Полнота множества вещественных чисел

Полнота множества действительных чисел. Пусть A и B-два произвольных множества. Если все элементы множества A соответствуют одному набору элементов, то каждый элемент множества A сопоставляется нескольким элементам множества A, а элементы множества A сопоставляются одному набору элементов. Что касается этих правил, то если в этих правилах нет элементов, если элементы a и B из первого множества соответствуют элементам A ‘и B’во втором множестве th-1, то элементы в элементах a» -, 3) A и b

соответствуют элементам A ‘- b’. Точно так же можно говорить не о правилах упорядочения, сложения и умножения, а о других правилах, характеризующих отношения между элементами, в частности,§6. Другие вопросы 55 Понятие множеств изоморфно друг другу относительно этих правил. Примером двух пар, изоморфных друг другу относительно правил упорядочения, сложения и умножения, является множество рациональных чисел, введенных

как отношение целых чисел, так и упорядочение соответствующих (см. п. 1§1) Правил. Набор всех рациональных чисел и набор всех Людмила Фирмаль

действительных чисел. Для каждого из этих наборов определены правила упорядочения, сложения и умножения, а остальные 16 основных свойств являются действительными. Это объясняется тем, что, в общем случае, все множества действительных чисел не изоморфны правилам порядка сложения и умножения всех множеств рациональных чисел, а множество действительных чисел-нет. Это следует из того факта, что невозможно установить однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел и всеми действительными числами. В параграфе 3, 7 доказано, что такого соответствия между рациональным числом и действительным числом отрезка[0,1] не существует. Так что я не умею делать

необходимые заявления. 1) установить определенный порядок этого «более широкого» 16 базовых свойств, сложения и умножения, а остальные правила справедливы; 2) вообще более»широкие» разновидности т. е. все вещественные числа всех вещественных чисел, все множества полны по отношению к правилам упорядочения, сложения и умножения и 16 другим основным свойствам. 1): более»широкое»множество определялось теми же правилами и имело те же свойства;2)вообще более»широкое»множество не изоморфно для обозначения этих правил; 3) это «более широкое» ч. 2. Действительное число Для указанного правила существовала часть,

изоморфная данному множеству’. Можно утверждать, что все множества рациональных чисел не являются полными по отношению к правилам упорядочения, сложения, умножения и другим 16 основным свойствам (множествам вещественных чисел), и все они равны. Здесь мы докажем, что множество всех действительных чисел является полным по отношению к порядку, сложению, правилам умножения и другим 16 основным свойствам. Вопреки этому, т. е. поскольку существует»более широкий» набор объектов {x’}, такой, что он указывает требования 1), 2), 3) и многие { % } из формализованного определения выше. Прежде всего, обратите внимание, что множество (x’}) имеет единственную пару элементов 0 ‘и 1’, которые играют особую роль нуля и.Кроме того, элементы 0′ и 1 ‘являются частью множества{x’} и могут быть утверждены как

находящиеся в взаимно однозначном соответствии с действительными числами 0 и 1*. * Случай. A ‘ является любым элементом множества{%’}и не принадлежит множеству{x’}. *Если два элемента 0 ‘1 и 02’, играют особую роль нуля, то благодаря свойствам суммы мы имеем O1’=O1’+O2 ‘=O2’+O g = O2′, а также элемент 1’, играющий особую роль единицы. ** Например, докажите, что нулевой элемент 0 ‘ множества {%’} принадлежит множеству{x’} и следует за действительным числом 0. Представляет собой 0 набор элементов (x’}, который соответствует действительному числу 0, и обратите внимание, что сумма 0+0 соответствует действительному числу 0+0=0, и поэтому 0+0=0. С другой стороны, O’+0=0(определение нулевого элемента O’PA).

Из последних двух уравнений мы заключаем, что 0+0=O ‘ +0. Добавить в обе части полученного равенства элемент о’. Учитывая, что противоположность 0 и 0+0’=O’, получаем 0+O’=O ‘+O -, или (благодаря свойству нулевого элемента) Людмила Фирмаль

0=0′. Аналогично происходит одноэлементное рассуждение. Благодаря правилам упорядочения, все элементы множества{G7}можно разделить на два класса, вверх и вниз. Оба этих класса не являются пустыми. На практике докажем, например, что высшие классы не пусты. Повторяя элемент 1 ‘слагаемыми достаточное количество раз, мы, благодаря свойству 16°, получаем элемент n ‘set[I’}, удовлетворяющий неравенству n’, то есть принадлежащий к высшему классу. Из свойства 4°следует, что каждый элемент класса-потомка меньше любого элемента класса-предка.§6. Другие вопросы 57 Благодаря изоморфизму множества{X7}и множества{%}всех вещественных чисел все множества вещественных чисел делятся на два класса, каждое число нижнего класса является высшим классом, но класс под вещественным числом имеет границу сверху, что означает, что верхний класс имеет точное M (благодаря теореме 2.1), а верхний класс имеет точное t. то есть он может быть либо наименьшим элементом верхнего класса, либо самым большим элементом нижнего класса. Давайте докажем, что оба эти утверждения абсурдны. Например, сделать его наименьшим элементом в более высоком классе вещественных чисел. Тогда

существует наименьший элемент x’, а верхний класс соответствует разбиению множества{x’}. По определению, высший класс t ‘>a’. По характеристикам суммы существует разность t ‘- a’, а по этим свойствам t’-A7>07. Но тогда, благодаря свойству 12°для элемента t» — a’, соответствующего характеристикам изделия, возникает частично равный обратный 1’1 (t7-A7). Согласно свойству 16°элемент I7 может многократно повторяться, что результирующий» целый «элемент n’ принадлежит {.T7}удовлетворяет неравенству N’>1’/(t ‘ -a). *Мы получаем из последних неравенств из-за продукта и общей

собственности * Вся алгебра применимости для обеспечения этих характеристик. *Для доказательства этой теоремы была использована идея так называемого раздела Дедекинда. Раздел Дедекинда области рациональных чисел-это деление множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества A и B, где любой элемент A больше любого элемента B. т’- — — — >а’. (2.19) п’ Так как элемент t’, I7 и n ‘ принадлежат множеству {.G7}, элемент^t’ — — — — — также принадлежит этому множеству и, очевидно, удовлетворяет неравенству t ‘- — — — — . *

Некоторые часто употребляемые соотношения	Понятие множества
Некоторые конкретные множества вещественных чисел	Операции над множествами