Оглавление:
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств используются свойства показательной функции.
Показательная функция 
определена на множестве вещественных чисел 
, является возрастающей при 
(рис. 23.1) и убывающей при 
(рис. 23.2), множество значений этой функции — совокупность всех положительных чисел. Неравенства вида
и
называют простейшими показательными неравенствами.
Если 
то неравенство (1) является верным при всех 
, а неравенство (2) не имеет решений. Пусть 
тогда:
а) если 
то неравенство (1) справедливо при 
а неравенство (2) — при 
(рис. 23.1);
б) если 
то множество решений неравенства (1) — промежуток 
а множество решений неравенства (2) — промежуток 
(рис. 23.2).
Неравенство
при 
равносильно неравенству 
а в случае, когда 
неравенство (3) равносильно неравенству 
Примеры с решениями
Пример №272.
Решить неравенство 
Решение:
Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
откуда 
Ответ. 
.
Пример №273.
Решить неравенство
Решение:
Запишем данное неравенство в виде (3), где 
Получим неравенство
равносильное каждому из следующих неравенств:
Искомое множество решений — объединение промежутков 
и 
Ответ. 
Пример №274.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (4) сведем к квадратному, полагая 
Получим неравенство
Так как уравнение 
имеет корни 
то неравенство (5) можно записать в виде
где 
Поэтому неравенство (6) равносильно неравенству 
Итак, 
или 
или 
откуда 
Ответ. 
Пример №275.
Решить неравенство
Решение:
Положим 
тогда неравенство (7) примет вид
Неравенство (8) равносильно каждому из следующих неравенств :
Так как 
то неравенство (9) равносильно неравенству
откуда получаем 
т. е. 
Ответ. 
Пример №276.
Решить неравенство
Решение:
Разделив обе части данного неравенства на 
и полагая 
получим неравенство
равносильное неравенству
откуда 
так как 
Значит, исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Ответ. 
Пример №277.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (10) равносильно каждому из следующих неравенств:
1) Если 
или 
то 
и неравенство (11) равносильно каждому из неравенств
откуда следует, что либо 
либо 
В этом случае решениями неравенства (11) являются все числа 
такие, что 
а также все числа из промежутка
2) Если 
то 
и неравенство (11) примет вид 
откуда 
В этом случае множество решений неравенства (11) — промежуток 
Таким образом, множество всех решений неравенства (10) — объединение промежутков 
Ответ. 
Пример №278.
Для каждого значения параметра а решить неравенство
Решение:
При 
неравенство (12) не имеет решений, так как 
для всех 
Пусть 
тогда, полагая 
запишем неравенство (12) в виде
Так как квадратное уравнение 
имеет корни 
и 
то неравенство (13) равносильно неравенству
Рассмотрим два возможных случая: 
1) Если 
то 
и множество решений неравенства (14) — интервал 
т. е. 
или 
откуда 
2) Если 
то 
и множество решений неравенства (14) — интервал 
т.е. 
или 
откуда 
Ответ. Если 
то неравенство не имеет решений. Если 
то 
если 
то
Пример №279.
Решить неравенство
Решение:
Полагая 
, где 
запишем неравенство (15) в виде
При 
обе части неравенства (16) определены и положительны. Возводя их в квадрат, получаем неравенство
равносильное неравенству (16) при 
Рассмотрим два случая: 
1) Если 
то 
и неравенство (17) равносильно каждому из следующих неравенств:
Итак, 
, откуда 
2) Если 
то неравенство (17) можно записать в виде
Пусть 
тогда неравенство (18) является верным. Пусть 
тогда неравенство (18) равносильно каждому из неравенств
Так как уравнение 
имеет корни 
где 
то Решениями неравенства (19) при 
являются значения 
из интервала 
Итак, решения неравенства (18) образуют интервал 
т.е. 
откуда 
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
