По внешней стороне параболы с горизонтальной осью, уравнение которой

Задача №51.

По внешней стороне параболы с горизонтальной осью, уравнение которой , скатывается без трения и без начальной скорости шарик, начальная ордината которого . В какой точке шарик соскочит с параболы?

Решение:

Пусть положительная ось направлена вертикально вверх. Движение шарика будет определяться интегралом живых сил, который имеет вид

постоянная живых сил при заданных начальных условиях будет равна . Тогда скорость определится уравнением

Для определения момента отрыва шарика от параболы воспользуемся естественными уравнениями движения. В проекции на нормаль будем иметь

В момент отрыва обращается в нуль. Для определения радиуса кривизны

воспользуемся уравнением кривой. Будем иметь

где — косинус угла наклона касательной к параболе

Подставляя эти значения, будем иметь

После подстановки значения и сокращений приходим к уравнению

Нетрудно видеть, что единственным действительным корнем этого уравнения является значение . Это и будет то значение , при котором точка отрывается от параболы.

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №49. Материальная точка массы описывает окружность радиуса , притягиваясь некоторой точкой этой окружности. Найти силу притяжения и скорость точки в зависимости от расстояния точки от .

Задача №50. Тяжелое колечко массы надето на гладкую вертикально расположенную проволочную окружность радиуса . Колечко может свободно передвигаться по ней. В начальный момент оно находится в самой нижней точке окружности и ему сообщена начальная скорость . Найти условия, при которых колечко совершит полный оборот по окружности и определить давление на нее колечка, когда оно находится в самой верхней ее точке.

Задача №52. Тяжелый шарик, масса которого равна , нанизан на горизонтальную проволочную окружность радиуса с коэффициентом трения . Определить, какую начальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы он сделал по окружности один полный оборот.

Задача №53. Тяжелая материальная точка движется по внутренней поверхности прямого кругового конуса, вершина которого обращена вниз, а ось симметрии вертикальна. Угол при вершине равен . В начальный момент расстояние точки от вершины конуса равно , начальная скорость равна и направлена перпендикулярно к образующей конуса. Определить траекторию точки и давление, которое она оказывает на поверхность конуса.