Задача №57.
По лемнискате, уравнение которой 
, скользит вниз от вершины 
весомая материальная
точка 
, начиная движение без начальной скорости. Определить время движения до точки 
в зависимости от угла 
при отсутствии трения.
Решение:
(См. рис. 60). Движение точки можно определить из интеграла живых сил
В начальный момент 
. Поэтому 
. Тогда скорость точки определится из условия
Исключая отсюда 
, получим
Движение точки происходит при уменьшении угла , поэтому, если 
, то скорость 
будет отрицательной, и будем иметь
Дифференциальное уравнение движения получает вид
или, после разделения переменных,
Отсюда легко определяется время
Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:
Решение задач по теоретической механике
Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:
| Задача №55. Материальная точка весом подвешена при помощи двух одинаковых нитей к двум опорам, находящимся на одном и том же горизонтальном уровне, причем угол наклона каждой нити к вертикали равен . Внезапно одну из нитей перерезают. Доказать, что натяжение другой нити мгновенно изменится в отношении . |
| Задача №56. Материальная точка совершает колебания на гладкой параболе с вертикальной осью, изменяя направление своего движения на концах хорды, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к оси параболы. Найти давление точки на параболу в самой нижней точке. |
| Задача №58. Точка вынуждена оставаться на параболе и движется по этой параболе без воздействия внешних сил, находясь в начальный момент в положении и имея начальную скорость , направленную к вершине параболы. Через сколько времени точка достигнет вершины параболы? |
| Задача №59. Математический маятник подвешен внутри вагона, движущегося по прямолинейным рельсам с постоянным ускорением . Определить период колебаний маятника, предполагая, что нить, на которой подвешен маятник, нерастяжима и имеет длину (рис. 62). |
