Оглавление:
Плоские волны в физике
- Плоские волны. Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, ког скажем х (и от времени). —С2— = 0 (47 1) dt2 & г2 ’1 J где под / подразумевается любой компонент векторов Е или н. Для решения этого уравнения перепишем его в виде (± -c ±) (± + c ±) f = 0 \ dt dxJKdt dxJJ и введем новые переменные так
что Тогда t = \ (v + 0, x = ^ (v ~ 0- дЈ 2 В дт дх) ‘дри и уравнение для /: L = i (l _ c ±) f д_ = 1 (^ + с д_) 1 2 \ дт дх / дг) 2 \ дт дх / д2 ф = 0 д ^ дг) Очевидно, что его решение имеет вид / = ч (0 + ВИЧ), где fi и / 2-воспроизводимые функции. / = /. (* -!) + * (* +!) • («.2) Пусть, например, / 2 = 0, так что / = f \ (т-х / с). .. Смысл этого решения В каждой плоскости х = сопы поля меняется со временем, в каждый данный момент поле различно для разных й
то через промежуток времени т то же самое значение поле имеет на расстоянии Людмила Фирмаль
Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат х и моментов времени Ј, удовлетворяющие соотношений т — х / с = Const, т. е. х = const + ct. T = 0 в некотором моменте точке х пространства поле имело определенное значение, кт вдоль оси х от первоначального места.
Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля распространяются в пространстве вдоль оси х со скоростью, равной скорости света с. Таким образом, f \ (t — x / c) представляет собой плоскую волну, очевидно, что / 2 (т + х / с) представляет собой волну, бегущую в противоположном направлении. В § 46 было показано, что потенциалы электромагнитной вол теперь можно выбрать так, чтобы <р = 0, когда div А = 0.
- Выберем Условие div А = 0 дает в утамес дАх _ дх ’ Согласно (47.1) будем иметь тогда и d2Ax / dt2 = 0, т. е. Dax / дт = Const. Но производная дА / дт определяет электрическое поле, и мы видим, что отличная от нуля компонента Ах означала бы в рассматриваемом в случае наличия постоянного продольного электрического поля. То, что можно положить Ах = 0.
Таким образом, векторный потенциал плоской волны может быть всегда выбранным перпендикулярным к оси х, т. е. к раскрытию этой волны. Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном на все эти значения, в частности и А, являются формой только от т-х / с. ^ 1 дА у А Е =, Н = гниль А с dt ’ мы находим поэтому Е = —-А ‘, Н = [ВА] = [v (* -У А’1 = —- [пА’1, (47,3)) с L V с) \ с
что это электрическое и магнитное поле Людмила Фирмаль
где штрих выделен по т-х / с, а п- единичный вектор вдоль направления распространения волны. Подставляя первое равенство во второе, находим Н = [пЕ]. (47,4) Мы видим, . кой волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны.
На этом основании электромагнитные волны называют поперечными. Из (47.4) видно, далее, что электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу и одинаковы по абсолютной величине. Поток энергии в плоской волне s = S [EH1 = Ј № 4], и поскольку Еп = 0, то S = -Е 2 n = -Н 2 п. Таким образом, W = (Е 2 + В 2). есть волна энергии, которую можно написать: в соответствии с тем.
Импульсная единица объема электромагнитного поля есть S / с2. Для плоской волны это дает (W / с) п. Обратим внимание на то, что соотношение между энергией и импульсом W W / с электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц, движущихся со скоростью света (см. (9,9)). Поток импульса поля дается максвелловским тензором на пряжений <7ар (33,3).
Выбирая по-прежнему направление распространения волны в качестве оси ж, найдем, что единственная отличная от нуля компонента Та @ есть Как волны распространения, так и волны Найден закон преобразования плотности энергии плоской электромагнитная волна при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другому. угол наклона (скорость V) и направленно
В результате находим Учитывая W = Е 2 / 47г = Н 2 / 47т, то есть абсолютные значения S = CWN (47,5) (47,6) (см. задачу к § 33) надо подставить S’x = cW ‘cos а’, a’xx = -W ‘cos2 a’, (47.7) напряженностей поля волны Задачи 1. Определить силу, действующую на стенку. (с коэффициентом отражения R) падающая на нее плоская электромагнит ная волна.
Сила f, действующая на единицу площади стенки, дается потоком импульса через нее fa = где N-вектор нормализует поверхность стенки, а компоненты тензоров напряженности падают лучим f = ^ n (N n) + W’ri (Nri). По определению коэффициентов отражения имеем: W ‘= RW. переход к компоненту, найдем нормальную силу / дг = W (1 + R) cos2 в и тангенциальную силу ft = W (1-R) sin в cos в. 2.
Методом Гамильтона-Якоби определить движение заряда в поле плоской электромагнитной волны. Уравнение Гамильтона-Якоби, записанное в четырехмерной форме: ик (дс е \ (дс е \ 2 2 * Ш + сА ‘) (^ + сА-) =’ ПС- (1) Тот факт, что Аг представляет собой плоскую волну.
Все эти независимые переменные могут быть представлены в видеосвязи квадратом, kikg = 0 (ср. следующий параграф). ЗА * dA1 7 —- г = —— кг = 0; дх1 дЈ для полярных волн это условие эквивалентно равенству Аъкг = 0. Ищем решение уравнения (1) в виде S = -фикс * + F (Z), где / г = (/ °, f) -постоянный вектор, удовлетворяющий условию fif% = = т2с2 (S = -fix1-решение уравнений Гамильтона-Якоби для свободной частоту с 4-импульсом рг = / г). -27 ^ — = 0, С dt; С
где постоянная 7 = kif%. Определив отсюда F, получим S = -фикс * -— [fiA * dt + f AiA * <* Ј • (2) c’y J A ^ C J Переходя к трехмерным обозначениям с фиксированной системой отсчета, выберем направление распространения волны в качестве оси х Тогда Ј = кт -. Х, а постоянная 7 = е ° — е 1.
Обозначив двумерный вектор ФГ, ФЗ через х, получим из условий / * / г = (/ °) 2 — (/ 1) 2-х 2 = т2с2. / 0 + / 1 = мВ + ^ 7 Выбранные потенциалы в калибровке, в которой ^ = 0, а А (Ј) лежит в плоскости 2 / z. После этого выражения (2) примет вид 5 = х г- ^ (ct + ж) -Ш С + ^ — (х А ф А 2dЈ. 2 2 7 е7 J 2 7 с J Согласно общим правилам (см. I, §47) для определения движения надо приравнять производные дБ / дм, дС / д7 имеют новые постоянные, ко можно выбрать в начале координат
Таким образом, получим параметрические фор мулы (Ј-параметр): У = 7-c-j j f Ay z = 7-c-j jf Az dЈ, x = \ (mc7? x ct = z + x- г Обобщенный импульс P = p H— Ай энергия 8 с это дает действия по координатам и времени; е л е л Ру-У э Пз-, С С Ш, 7 2 2,2 2 с + х е а е д2 = -Н ————————- х А Н ——— А; 2 2 7 С7 2 7 с ^ = (7 + Рх) с.
Если они усреднены периодическая функция А (Ј) обратится в нуль. таким образом, она в среднем покоится, т. е. ее средний импульс равен нулю. -—Н с т = 7, 0 = х I 2 2 2 2__д оА ^. с Тогда окончательные формулы для определения движения примут вид х = гт / (А 2-А2) dЈ, у = —— [AydЈ, z = -— [A tdЈ, Jc J CjJ CjJ ct = i + ^ j (A 2 (3) Px = ^ — (A2-A2), Py = —Ay, pz = — ~ AZ, 27 С С с Ј = C 7+ (A2-A2).
Смотрите также:
| Теорема Лармора в физике | Монохроматическая плоская волна |
| Волновое уравнение в физике | Спектральное разложение |
