Площадь поверхности, заданной явным уравнением

Оглавление:

Площадь поверхности, заданной явным уравнением

Площадь поверхности задается явным уравнением. Необходимо искать другие способы обоснования понятия площади криволинейной поверхности с учетом ситуации, описанной в

предыдущем выпуске. Укажем один из этих путей, хотя и простой,но не лишенный искусственности, и начнем со случая поверхности(5) с положительного и отрицательного. г =/(х, г). (1)

Изменение x, y во вторичной области (O)на плоскости XY, 3651§2. Площадь кривой Людмила Фирмаль

поверхности 307 G в этой области имеет непрерывные частные дифференциальные И Давайте нулевая зона (О) и разбить его на элементы Кривые сетки (с областью, (Ад, (ад, (А) и рассмотрим один из этих элементов, (ад. Когда мы строим по контуру этого подобласти

(как на направляющей) цилиндрическую поверхность с генератором, то на поверхности (5) элементов (ад. Возьмем любую точку D-(X;, y^в пределах (ad, проведем по соответствующей точке M {(XI, y [, где Y}), Поверхность (5) K a s a t e l L n u p l o s K O S t s. цилиндрические грани выше и на этой плоскости вырезают основную фигуру(7}) (Рис. 55),

площадь 7}выступает в качестве приближения к площади элемента (ad. Поэтому сумма всех таких областей параллельно оси g, она будет отрезана Около Райс, 55. Можно считать аппроксимацией площади поверхности (5). Определяет пространство 8 для этой поверхности как предел п 3 = NT a = NT2L 1=1 Диаметр всех элементов (в аду или, другими словами, диаметр всех плоских элементов (ВР. Теперь легко показать, что 5 представлен двойным интегралом (2 ) (Л) Как обычно

, V означает угол нормали к поверхности с осью x*). *) Обратим внимание читателя на полную аналогию этого выражения (2) п л о щ а д И К Р и в О й п О В Е Р х н о с т и было дано выражение(1), то есть 308ЧАП. XXII площадь поверхности. Поверхность Действительно, если существует значение V, которое точно соответствует точке 7I/, то для области плоских фигур (Gg) и (C), где вторая служит первой ортогональной проекцией, необходимо иметь отношение. Д=тг/CO8^|, Откуда Т, -, 1. — И.- . 1 / pop V; / 1

Сумма AB определяется интегральной суммой двойного интеграла(2) и поэтому стремится быть им в Людмила Фирмаль

качестве предела при заданном предельном переходе. Если вспомнить формулу (8) n°361, то есть те т р е т ы, то результат можно переписать как: Само существование Интеграла (2) или (2A) следует из гипотетической непрерывности частных производных p и Z am ech. Существенным недостатком этого простого определения области 5*является то, что, во-первых, оно применимо только к поверхностям, представленным явными уравнениями, а во-вторых, зависит от выбора системы координат. Мы вернемся к нему со следующими вопросами

Определение неявных функций из системы уравнений	Площадь поверхности в общем случае.
Вычисление производных неявных функций	Относительные экстремумы