Оглавление:
Первые интегралы уравнений движения. Обобщенный интеграл энергии. Циклические координаты. Функция Рауса
- Напомним, движение голономной материальной системы степенью свободы под действием потенциальных сил. Она описывается системой F. Тип 2. Уравнение Лагранжа. 1 dt dt t dq, Где 1 1, 2-обобщенная координата 4i. I — драгоценная скорость, l-функция Лагранжа, l t-p. Где t-Кинетика, а p-потенциальная энергия материальной системы. Уравнение Лагранжа является нормальным дифференциальным уравнением 2-й степени и обычно является зависимостью вида. 4 фут. 0 0, 2 Где 1, 2, s.
Следовательно, для определения уравнения движения qt qt f необходимо интегрировать систему 2-d дифференциальных уравнений. В этом разделе мы рассмотрим, когда можно обойти интегрирование уравнения Лагранжа и непосредственно получить весь или часть первого интеграла, то есть уравнение Ф УО футов. Ci 0, 3 Где 1, 2,. . S и c-интегральные константы. В этих случаях задача значительно упрощается, поскольку вместо интегрирования 2-й Системы 2 вы интегрируете 1-ю систему 3, чтобы найти уравнение движения qj qjtf, ct, c i. Наиболее распространенным способом определения первого интеграла является а применение обобщенных интегралов анергии б использование циклических координат.
Переменная амплитуда а вынужденных колебаний в случае отсут-ствия силы сопротивления неограниченно возрастала при резонансе, т. Людмила Фирмаль
А применение обобщенных интегралов энергии. Рассмотрим голономные материальные системы, находящиеся под воздействием потенциальных сил. Его кинетическая энергия t, вообще говоря, зависит от обобщенной скорости, обобщенных координат и времени. Г-т б д т Где 1, 2,. S, а s-число степеней свободы. Кинетическую энергию t можно представить в виде Г м Г1 70, 4 Где ti и tb-однородные функции обобщенной скорости 4, где −2-я, tj-1-я, tb-0, то есть 0 t0 t, t. Кроме того, в общих чертах tv и t1 также зависят от обобщенных координат qt и времени t.
Если связь голономна, а кинетическая энергия 4 явно не зависит от времени это всегда относится к фиксированным связям, но также и к нефиксированным, то это так. Например, см. Задачу 17. 2, она вызывает обобщенную интегральную энергию. Г, — Го п const, 5 Также известен как Интеграл Якоби. Поскольку t tr является ТВ, обобщенный энергетический интеграл не является физическим энергетическим интегралом, то есть законом сохранения механической энергии c, а вычисляется по формуле 4. Термин tb имеет знак минус b, а термин tb, линейно зависящий от обобщенной скорости ji, не входит в 5 при all. It иногда называют термином гироскопа для кинетической энергии.
Только для фиксированного соединения 7 tv 0. Тогда Формула 4 принимает вид t ts. In кроме того, как видно из b, обобщенный энергетический Интеграл становится законом сохранения механической энергии. t p const 6 Итак, закон сохранения механической энергии 6 находится под влиянием голономных и неподвижных связей, а также под влиянием потенциальных сил Иногда. B координата периода, функция рта.
Обобщенные координаты циклические сколько Соответствует обобщенной силе, равной нулю, которая явно не входит в уравнение кинетической энергии t qi ql. .Ци 0 Если не все активные силы являются латентными, используйте следующую форму уравнения Лагранжа Где 4 1, 2, .С .ДТ n didfr dqi СД Предположим, что первая i-координата является периодической .Qt o, — 0, где 1, 2, .. Z и уравнение 7 принимают вид — — 0. A const, 8 Где 1, 2,. Зет. Уравнение 8 является первым интегралом уравнения движения.
Их число будет равно числу циклических координат. Таким образом, если периодические координаты присутствуют, то частичная производная кинетической энергии для соответствующей периодической общей скорости постоянна. Эти частные производные называются обобщенным импульсом. Из Формулы 8 видно, что обобщенный импульс, соответствующий периодическим координатам, постоянен. Итак, если материальная система имеет s степеней свободы в состоянии, в котором i циклические координаты qi, q qi присутствуют, минуя Интеграл, то можно непосредственно найти i первый Интеграл 8. Dt Обман ДТ йй 9 Константа aj, a. . Ат должен определяться с использованием начальных условий движения.
Если первый интеграл 9 присутствует, то необходимо интегрировать лагранжевы уравнения типа 2, соответствующие апериодическим координатам s — l, а не s. Для непосредственной подготовки этих уравнений удобно использовать функцию routh. Е-У Л-Г. 10 — Я В уравнении кинетической энергии t 10, используя первый Интеграл 9, исключается обобщенная периодическая скорость fo 4t — Если функция routh присутствует, то форма уравнения Лагранжа для апериодических координат имеет вид П З-ч-л 4-2,. С. Таким образом, используя функцию routh, вы можете исключить периодические координаты из уравнения Лагранжа как игнорировать координаты. В некоторых случаях потенциальной силы qj —gj-.
Поскольку обобщенная сила, соответствующая периодическим координатам, по условию равна нулю, dp dqt 0, т. е. Периодические координаты явно Не вводится выражение потенциальной энергии, а следовательно и выражение Лагранжевой функции l 7 — p напомним, что по определению кинетическая энергия явно не зависит от периодических координат. Поэтому в случае потенциальных сил периодическая координата qt явно не вводится в Формулу Лагранжевой функции, то есть dl dqt 0.
Кроме того, уравнение 1 принимает вид Отсюда следует первый Интеграл уравнения движения Эон, Т. Таким образом, материальной системой, в которой действует только потенциальная сила, является i периодическая координата qb qt,. . Если у вас есть s степеней свободы в присутствии qb, вы можете непосредственно найти i первый Интеграл, если вы обходите Интеграл. Дл дл 12 Легко видеть, что Формулы 9 и 12 идентичны, так как потенциальная энергия не зависит от обобщенной скорости.
Для остальных координат s-i можно использовать функцию routh r для непосредственного построения уравнения s-Лагранжа. Д сайту brdr Н dt dqt dqi Где z z 1, i 2, s и routh 13 Здесь, используя формулу 12, периодическая скорость fa, , fa исключается из функции Лагранжа l. Для материальной системы, на которую воздействуют потенциальные силы, рекомендуется скомпилировать первый Интеграл Лагранжева уравнения периодических координат непосредственно и Лагранжево уравнение непериодических координат, которое будет скомпилировано с использованием маршрута function. It желательно сделать это в следующем порядке.
Апериодический Координаты З я, 4 с. Пункт 8 число уравнений, использование обобщенного интеграла энергии 5 когда функция Лагранжа l не зависит явно от времени или закон сохранения механической энергии 6 связанный в установившемся состоянии. Так, если обобщенный энергетический Интеграл может быть применен к материальной системе с 1 степенью свободы с 2 степенями свободы, то первые 2 интеграла могут быть получены непосредственно без составления и интегрирования уравнения Лагранжа Тип логотипа. Задача 17. 1. Трубку ОА можно вращать горизонтально Плоскость вокруг вертикальной оси на рисунке показан вид сверху.
Это означает, что сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости, не влияет на величину круговой частоты вынужденных колебаний материальной точки. Людмила Фирмаль
Внутри трубки находится шарик m массы m, а момент инерции трубки вокруг оси z равен i. Шарик считается точечной массой. Власть игнорирует сопротивление. Получает обобщенные полярные координаты r и p. Указывает, что координаты p являются периодическими. Сначала найти Проходя через его конец о К задаче 17. 1. Интеграл уравнения движения. Используйте функцию routh для создания уравнения Лагранжа для апериодической координаты r. Решение. Материальная система имеет 2 степени свободы.
Обобщенными координатами по гипотезе являются полярные координаты r и p см. Рисунок. Кинетическая энергия системы 1 Где gtr-кинетическая энергия трубки, а tg-шар. У нас есть t. -uisag d 2 Здесь мы используем выражение, которое выражает 2-ю степень скорости точки в полярных координатах v2 r f. Введите 1 — 2 и запишите Активная сила-это сила тяжести трубки oa и сила тяжести шара. Учитывая, что движение происходит в горизонтальной плоскости, оно приобретает потенциальную энергию, равную нулю.
Используйте выражения 3 и 4 для определения функции Лагранжа. T-p 7, r Л 5 Координаты p являются периодическими, поскольку они явно не включены в Лагранжиан expression. So, согласно формуле, приведенной в обзоре теории 12, мы непосредственно получаем 2 из первого интеграла 1. Учитывая формулу 5 4 Р Ф О. 6 Легко видеть, что первый Интеграл 6 фиксирует инвариантность главных моментов импульса материальной системы относительно оси z. Чтобы получить еще один первый Интеграл, используйте энергетический Интеграл см. 6 в обзоре теории. Это возможно потому, что активная сила гравитация скрыта, и на систему накладывается неподвижное соединение ось вращения трубки.
Связь является стационарной по уравнению 3 кинетической energy. It является однородной формой 2-го порядка обобщенной скорости t и p. То есть t t2 в этом случае 7 и go-уравнения кинетической энергии 4, равные нулю, соответствующие первой и 0 степеням обобщенной скорости. Закон сохранения механической энергии запишите 7 П С, введите значения 3 и 4 и используйте результат 6 для получения еще одного первого интеграла. , — РЧ Р-С-Р Таким образом, полученными формами интегрирования уравнений движения являются 6 и 7. Я определил их, обойдя компиляцию и интегрирование 2 уравнений Лагранжа.
Это стало возможным благодаря наличию периодических координат и использованию интегралов энергии. В заключение минуя систему уравнений 8 воспользуемся функцией routh для построения Лагранжева уравнения нерегулярных координат r. По формуле, приведенной в обзоре теории 14 Р АТФ-л. 9 Введите выражение 5 в 9 и присвойте значение p 6, чтобы получить функцию routh. О Теперь Лагранжевы уравнения апериодической координаты r можно записать в виде см. 13 в обзоре теории РДР д-р п ДТ ДТ д-р И Используйте формулу 11 формулы 10, чтобы найти необходимое дифференциальное уравнение для координаты r.
Обратите внимание, что, используя уравнение Лагранжа 8 могла бы быть система, чтобы получить Т-РЧ 0, 2 lg7f, р ф 0 И только после исключения из него f и f становятся формулами 12. Задача 17. 2. Он решает предыдущую задачу, предполагая, что труба ОА приводится в движение двигателем с равномерным вращением угловой скорости о. Solution. In в этом случае трубка ОА реализует нестационарное сцепление шара при и вращается с угловой скоростью 0. Положение шарика m относительно трубки ОА определяется через объединение-к вопросу 17. 2. Координирует Вычислите абсолютную скорость шара, используя теорему о сложении скоростей o o r. U, r 0o. И так оно и есть.
Кинетическая энергия шара По формуле, приведенной в обзоре теории 4 Т — Р0 ВК ю8 2 Где tt-функция 2-го порядка обобщенной скорости a, а t0 не включает обобщенную скорость. Поскольку движение происходит в горизонтальной плоскости, потенциальная энергия равна нулю. Н о, 3 А функция Лагранжа —имеет имеет выражение 1 Л Юм 2 г г Дж 4 В этом случае первый Интеграл является обобщенным интегралом энергии см. 5 в обзоре теории Ха-Т0 П С, 5 В случае функции Лагранжа 4 она явно не зависит от времени. B найти первый Интеграл интереса, используя формулы 2 и 3. 6 где константа c делится на 2.
При решении этой задачи легко впасть в ошибку, применив закон сохранения механической энергии вместо обобщенного интегрирования энергии 5 Г П С 7 В 7 введены результаты 2 и 3, поэтому вы случайно нашли ГЫ-Ы В этой задаче закон сохранения механической энергии 7 не может быть применен. Выражение кинетической энергии 1 исключает 7 уЖ 2-Функция 2-го порядка обобщенной скорости также содержит f-независимый член.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
| Кеплерово движение (движение под действием центральной силы) | Уравнения Лагранжа первого рода |
| Динамика точки переменной массы | Канонические уравнения Гамильтона |
