Определение 1. Функция называется первообразной от функции
на отрезке
, если для всех
выполняется равенство

Определение первообразной от заданной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование — действие обратное дифференцированию и практически более сложное.
Первообразная для заданной функции не является единственной. Так, — первообразная для функции
, так как
. Но и
. Пример показывает, что если известна одна первообразная
, то любая другая имеет вид
, где
— произвольная постоянная.
Теорема. Если и
— две первообразные от функции
на отрезке
, то разность между ними равна постоянному числу.
Определение 2. Если функция является первообразной для
, то выражение
называется неопределённым интегралом и обозначается

Здесь — подынтегральная функция,
— подынтегральное выражение,
— переменная интегрирования,
— дифференциал переменной интегрирования.
Из определений (6.1), (6.2) и правил дифференцирования вытекают свойства неопределённого интеграла:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:. Последнее равенство справедливо с точностью до произвольной постоянной. Если найти производные от левой и правой частей равенства
, то
.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: , где
.
Следствие свойств 4 и 5 — неопределенный интеграл линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации интегралов этих функций ( — постоянные числа):

6. Если , то
, где
— произвольная дифференцируемая функция. Это свойство есть следствие свойства инвариантности формы дифференциала функции, согласно которому
, если
.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Дифференциал функции, его свойства и применение |
Применение 1-й и 2-й производной для исследования функций |
Таблица интегралов и табличное интегрирование |
Интегрирование по частям |