Определение 1. Функция 
называется первообразной от функции 
на отрезке 
, если для всех 
выполняется равенство
Определение первообразной от заданной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование — действие обратное дифференцированию и практически более сложное.
Первообразная для заданной функции не является единственной. Так, 
— первообразная для функции 
, так как 
. Но и 
. Пример показывает, что если известна одна первообразная , то любая другая имеет вид 
, где 
— произвольная постоянная.
Теорема. Если 
и 
— две первообразные от функции на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу.
Определение 2. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределённым интегралом и обозначается
Здесь — подынтегральная функция, 
— подынтегральное выражение, 
— переменная интегрирования, 
— дифференциал переменной интегрирования.
Из определений (6.1), (6.2) и правил дифференцирования вытекают свойства неопределённого интеграла:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
. Последнее равенство справедливо с точностью до произвольной постоянной. Если найти производные от левой и правой частей равенства 
, то 
.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 
, где 
.
Следствие свойств 4 и 5 — неопределенный интеграл линейной комбинации конечного числа функций равен линейной комбинации интегралов этих функций (
— постоянные числа):
6. Если 
, то 
, где 
— произвольная дифференцируемая функция. Это свойство есть следствие свойства инвариантности формы дифференциала функции, согласно которому 
, если 
.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Дифференциал функции, его свойства и применение |
| Применение 1-й и 2-й производной для исследования функций |
| Таблица интегралов и табличное интегрирование |
| Интегрирование по частям |
