Оглавление:
Параметрический резонанс
- Параметрический резонанс Существует такая открытая система вибрации, Внешние воздействия сводятся к изменениям во времени параметра x). Параметры одномерной системы являются коэффициентами Функция Лагранжа t и k (21,3); в зависимости от времени Далее уравнение движения ^ (M i) + kx = 0 (27,1)
Если мы введем новую независимую переменную m согласно dr = dt / m (t) вместо t, это уравнение будет иметь вид + ткх = 0. dT2 Так что на практике без потери общности Точно рассмотрим уравнение движения пены ^ + со2 (т) х = 0, (27,2) Получено из (27.1) при rn = const. Вид функции si (Ј) зависит от условия задачи.
Нажимайте эту функцию периодически на частоте Людмила Фирмаль
Purepo у (И период Т = 2тг / год). Это значит cv (t + r) = cu (i), Поэтому уравнение (27.2) инвариантно относительно преобразования t- »t + T. Если x (t) является решением уравнения, функция x (t + T) также является решением. То есть, если x \ (t) и x2 (t) — два независимых интеграла Уравнение (27.2) преобразуется при замене t-уt + T
Они выровнены друг с другом. Вы можете выбрать х) В x \ и X2 замена t на t + T меняет их Умножить на определенный коэффициент XI (t + T) = \ ix i (t), x2 (t + T) = \ l2X 2 (t). Наиболее распространенная форма функции с этим свойством = x2 (t) = 4 / TP2 (*), (27,3) Где Пх (Ј) и П2 (Ј) — чисто периодические функции времени (период Т).
- Константы u и q2 этих функций должны быть связаны Друг друга в определенном соотношении. Конечно, умножьте уравнение XI + a) 2 (t) xi = 0, X2 + (J02 (t) x2 = 0 Вычтите их друг от друга по термину, соответственно с x2 и x \ Мы получаем X \ X2-X2X \ — (± 1X2-X1X2) = 0 или X \ X2-X \ X2 = const (27,4) Однако в случае функции x \ (t) и X2 (t) в виде (27.3) выражение Если аргумент t изменяется на t + T, ni2 умножается слева от этого уравнения. Таким образом, уравнение (27.4)
В любом случае C1 | ^ 2 = 1 (27,5) Основываясь на том факте, что коэффициенты действительны, мы можем сделать дальнейший вывод о константе c2. Заявление (27.2). Если x (t) является интегралом такого уравнения, Комплексная сопряженная функция x * (Ј) должна удовлетворять тому же уравнению.
Во втором случае два независимых интеграла уравнения Людмила Фирмаль
В результате набор констант q1? q2 должна соответствовать паре q *, q2. Должно быть либо u и q2 — действительные числа. В первом случае с учетом (27,5), = 1 / μ *, то есть | qx | 2 = | q2 | 2-1; постоянный И равен q2 по модулю единицы. (27.2) есть формат Xl (t) = t ‘/ tTVD, ®2 (i) = tG * / tTT2 (*) (27,6)
Положительное или отрицательное действительное число q отличается от Unity q Одна из этих функций (первая или вторая функция с | µ |> 1 и | µ | <1) экспоненциально увеличивается со временем. Это означает, что остальная часть системы (положение равновесия x = 0) становится нестабильной.
Любое небольшое отклонение от этого состояния достаточно, чтобы отображаемое смещение x быстро увеличивалось со временем. Это явление называется параметрическим резонансом. Быть точно равным нулю Начальные значения x и x будут оставаться нулевыми в будущем, в отличие от нормальных резонансов (§22), где смещение увеличивается со временем (пропорционально t). Также исходит из начального значения ноль.
Давайте рассмотрим условия параметрического резонанса CA в важном случае, когда функция ci (Ј) почти совпадает с постоянной sio и является простой периодической функцией Cu2 (Ј) = o (1 + h cosyi), (27,7) Если константа h o + e) t] x = 0 (27,8) Поиск по форме x = a (t) cos (wo + |) t + b (t) sin (cuq + 0 1, (27,9) Где a (t) и b (t) — медленно меняющиеся функции времени (по сравнению с cos и sin-факторами).
Конечно, этот тип решения не является точным. На самом деле, функция х (т) Также включает термины с частотой, отличной от sio + Ј / 2 2cl> o + целое число, кратное Ј. Однако эти члены являются малостью r высшего порядка и могут быть проигнорированы в первом приближении. (См. Задание 1).
Замените (27,9) на (27,8), выполните расчет и сохраните Используйте только первый член e. у вас есть a ~ ha, b ~ & b (Точность этого предположения в условиях резонанса подтверждается результатами). Произведение тригонометрических функций должно быть расширено в общей сложности Также, как упомянуто выше, член частоты 3 (cuq + e / 2) опущен.
В результате Чтобы реализовать это уравнение, коэффициенты sin и cos-факторов должны быть исключены одновременно. Отсюда получаем систему из двух линейных дифференциальных уравнений, функций a (t) и b (t). Согласно общим правилам, Ищете решение, пропорциональное EST.
тогда И условие совместимости этих двух алгебраических уравнений состоит в том, что условие появления параметрического резонанса в действительности s (т. Е. S2> 0) x. Поэтому резонанс имеет место с интервалами <Ј <(27.11) 2) Около 2 си частоты. Ширина этого интервала пропорциональна / г, и значение коэффициента усиления s колебаний, выполненных в этом интервале, того же порядка.
Параметрический резонанс также имеет место Максимальное значение при изменении параметров системы, близких к значениям формы 2 си / н. n — произвольное целое число. Однако ширина резонансной области (нестабильной области) быстро уменьшается с ростом n (см. Задачу 2). Значение коэффициента усиления этих колебаний также уменьшается.
Явление параметрического резонанса также существует в следующих случаях. В системе слабое трение, но нестабильная область несколько уже. Как видно из раздела 25, трение приводит к ослаблению амплитуды колебаний в соответствии с законом e-L *.
Таким образом, усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит следующим образом (положительное s определяется решением Задача без трения), граница неустойчивой области определяется уравнением s —Л = 0. Поэтому используйте (27.10) s, чтобы получить резонансную область вместо неравенства (27.11). -yj (hw0 / 2) 2-4L2 Далее две границы нестабильной области: — = .215,21, 2 h w0, Ј = -h w0. 3.
Найти условие параметрического резонанса малой вибрации плоского маятника с точкой, которая колеблется вертикально Подвеска. Решения. Используя функцию Лагранжа в задаче 3, найдите уравнение движения для малой (φ1) вибрации в §5. φ + оω (l + 4 y c o s (2ω0 + e) t ^ φ = 0, Где cuq = d / 1. Это показывает роль параметра h, введенного в текст. Соотношение 4а / л воспроизводится. Например, условие (27.11) принимает следующий вид: 2 dyfg / 3/2
Смотрите также:
| Затухающие колебания в физике | Ангармонические колебания |
| Вынужденные колебания при наличии трения | Резонанс в нелинейных колебаниях |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
