Оглавление:
Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через
(
).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат так, чтобы ось
проходила через фокус
перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к
, а начало координат
расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус
имеет координаты
, а уравнение директрисы имеет вид
или
.
Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точку
с
. Проведем отрезок
перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы
. По формуле расстояния между двумя точками находим:
, а
.
Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т.е.

Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

Исследование форм параболы по ее уравнению
- В уравнении (11.13) переменная
входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси
; ось
является осью симметрии параболы.
- Так как
, то из (11.13) следует, что
. Следовательно, парабола расположена справа от оси
.
- При
имеем
. Следовательно, парабола проходит через начало координат.
- При неограниченном возрастании
модуль
также неограниченно возрастает. Парабола
имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка
называется вершиной параболы, отрезок
называется фокальным радиусом точки
.
Уравнения также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где
и
любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Эллипс |
Гипербола |
Общее уравнение линий второго порядка |
Плоскость. Основные задачи |