Оглавление:
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда 
и 
, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы 
существуют.
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
Пусть 
. Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать 
и 
. Следовательно, 
. Здесь 
— б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать 
, т. е.
В случае разности функций доказательство аналогично.
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при .
Пусть 
и 
. По теореме 17.7 имеем:
Отсюда 
, т. e. 
.
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как
, , то
где 
и 
— б.м.ф. Следовательно,
т.е.
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
т.е.
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен
той же степени предела: 
. В частности, 
.
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
следуют соотношения и . Тогда
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.
Поэтому 
, т. е. 
.
Рассмотрим пример.
Пример №17.3.
Вычислить 
.
Решение:
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Бесконечно большая функция |
| Бесконечно малые функции |
| Признаки существования пределов |
| Обратная функция |
