Определение 7.1. Функция имеет в точке
локальный максимум (локальный минимум), если
такая, что
.
Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них — локальными экстремумами функции.
Если функция определена на отрезке
и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.
Определение 7.2. Точка из области определения функции
называется критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль
или не существует.
Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция определена на
в некоторой точке
имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке
существует конечная производная
, то
.
Доказательство.
Пусть в точке функция
имеет локальный минимум, т. е.
. Тогда в силу дифференцируемости функции
в точке
при
:

откуда
при :

откуда .
Существование производной возможно лишь при , откуда
. ■
Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что , так как односторонние производные па концах отрезка могут быть отличны от нуля.
Геометрический смысл теоремы Ферма. Если -точка локального экстремума функции
и существует конечная производная
, то касательная, проведенная к графику функции в точке
, параллельна оси
.
Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема для ;
3) .
Тогда найдется точка , такая, что
.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
- Если функция
на отрезке
, то
;
- Пусть
. По условию
непрерывна па отрезке и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наибольшего М и наименьшего т значений.
Так как , то значения
не достигаются одновременно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке
. Согласно теореме Ферма
■
Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.
Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка обязательно найдется хотя бы одна точка с, такая, что касательная к графику функции
в точке
параллельна оси
.
Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции и
, и пусть:
1) они определены и непрерывны на отрезке ;
2) дифференцируемы для ;
3) .
Тогда найдется точка такая, что

Доказательство.
Очевидно, что , так как в противном случае функция
удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка с
такая, что
, а это противоречит условию
на интервале
.
Введем вспомогательную функцию

Функция :
1) определена и непрерывна на ;
2) , т. е. существует на интервале
;
3)
Следовательно, по теореме Ролля, для функции найдется точка с
такая, что
. Тогда

откуда

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема на интервале
. Тогда найдется точка
такая, что

или

Доказательство.
Рассмотрим наряду с функцией функцию
. Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда

Из последнего равенства легко получается формула (7.1). ■
Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

где — некоторое число, при котором
.
Если в (7.2) принять , то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем.


При выполнении условий теоремы на интервале найдется точка с такая, что касательная к графику функции в точке


будет параллельна секущей, проходящей через точки .
Следствие 7.1. Пусть функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема на интервале
. Если
,
, то функция
.
Доказательство.
Пусть — любая фиксированная точка из интервала
-любая точка из
. К отрезку
применим теорему Лагранжа для функции
. Так как
, то
для
. Следовательно
. ■
Следствие 7.2. Пусть функции и
непрерывны на
, дифференцируемы на
. Тогда

Доказательство.
Так как функция непрерывна и дифференцируема на
согласно условию, то

Согласно следствию 7.1, . ■
Следствие 7.3. Пусть функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема па интервале
. Тогда если
, то функция
строго монотонно возрастает на
; если
— строго монотонно убывает на
.
Доказательство.
Пусть . Рассмотрим
такие, что
.
По теореме Лагранжа , где
. Так как
, то
. Тогда
, откуда
при
.
Таким образом, при функция строго монотонно возрастает на
.
Случай доказывается аналогично. ■
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: