Оглавление:
Основные виды прямолинейного движения точки
- Дифференциальная точка вдоль оси Ox, Уравнение линейного движения согласно (11) имеет вид (N ‘) Если сила зависит только от времени, учитываются координаты и скорость. Начальные условия: / = 0, х = х0, Наиболее важный случай линейного движения точки массы получается, когда сила Fx постоянна или зависит только от времени, координаты x или скорости v. Если сила постоянна, может быть равномерное переменное движение, то есть постоянное ускорение. Мощность обычно зависит от времени, измененного регулированием.
Например, тяга самолета контролируется путем изменения режима работы двигателя. Силы могут создавать пружины и другие упругие тела, которые сжимаются или растягиваются во время деформации в зависимости от координаты х. Сила, которая зависит от скорости движения, является в основном силой сопротивления, когда материальная точка движется в среде, такой как воздух или вода. Отметим, что в приведенном выше случае интеграл дифференциального уравнения (11 ‘) является самым простым и может быть дополнен квадратурой. В более общем случае, если сила зависит от времени /, x-координаты и скорости v одновременно, в большинстве случаев дифференциальное уравнение может быть интегрировано только приблизительно.
Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутые решения таких систем, и обычно невозможно найти Интеграл строгой нелинейной системы уравнений конечного вида. Людмила Фирмаль
Рассмотрим пример составления и интегрирования дифференциального уравнения для точечного линейного движения. Эти примеры могут определить некоторые особенности решения этих проблем. Ниже приведен пример, в котором сила зависит только от времени, скорости или координат. Пример 1. Точка массы m (рис. 8) падает вертикально без начальной скорости под действием силы тяжести и получает силу сопротивления воздуха I. Его значение пропорционально квадрату скорости и массе точки. То есть R = kmv \ где k — положительное постоянное значение. Найти точечное уравнение движения.
Решения. С осью Ox, направленной вертикально вниз, выберите точку начала движения в начале координат. В то же время примите (= 0. В любой момент примените силы P и R, действующие на нагрузку, к точке и создайте дифференциальное уравнение для этого движения. Скорость в этом случае может быть определена! Или из координат, используя замену d2x dt> di> dr2 d / C dx По времени Последняя замена позволяет исключить время из дифференциального уравнения при определении скорости. Эта замена первая Используйте первую перестановку, чтобы получить дифференциальное уравнение для движения точки в виде: dv / dt = k (g / k — v2).
Возьмите интеграл от обоих Разделение переменных Искать дальше Возьмите произвольную константу интегрирования, определенную интеграцию, сохраните верхний предел переменной для последующих интегрирований, а также используйте условие для нижнего предела: для (= от 0 до = 0. Выполните интегрирование и замените предел, бесконечность Улучшение и решение l + e-Vx ** Для достижения максимальной скорости требуется бесконечное количество времени. Более подробные расчеты показывают, что скорости вблизи ограничения скорости устанавливаются гораздо быстрее.
- Обращаем ваше внимание, что максимальная скорость составляет 50-60 м / с при свободном падении в воздухе десантника возле земли без раскрытия парашюта. Для воздушных бомб это 200-300 м / с. Чтобы найти закон движения точки, замените ее значение dx / dt на (a) вместо скорости r. тогда dx / d ”=> / g / fcth (> / i * /). Интегрирование этого уравнения после разделения переменных дает j dx = yg / Лf th ») d /. x = y / giky / \ l (gk) \ nch (y / gkl) \, 0 = (\ / k) \ nch (> / gkl) Пример 2. Точка массы v (рисунок 9) отбрасывается вертикально от поверхности Земли со скоростью v0 и движется под действием силы тяжести в соответствии с законом тяготения Ньютона.
Определите скорость, с которой точка зависит от расстояния до центра земли, игнорируя сопротивление воздуха. Решения. Выберите начало центра Земли, ориентируя ось Ox вдоль линейной траектории точки. И согласно закону Ньютона F = k / x2. Постоянный коэффициент k может быть выражен в других величинах, в частности, k = GMm. Где М — масса земли. G — универсальная гравитационная постоянная. В рассматриваемом случае удобнее выразить из условия, что сила тяжести F равна гравитации P = mg на поверхности земли. Если F и P х и Н равны, mg = k] R2-, k = mgR2, Где g — ускорение силы тяжести на поверхности земли. R — радиус Земли и подстановка полученного значения k в уравнение силы тяжести.
Если Интеграл уравнения выполняется до указанного члена, а полученное решение принимается за первое приближение, то вместо эллипса получается открытая кривая, близкая к эллипсу первого поворота. Людмила Фирмаль
На рисунке 9 F = mgR2 / xg. Создать дифференциальное уравнение для движения точки. получить d2x d2x mgR1 не т дт2 * дт2 х2 Знак минус в правой части этого уравнения определяется знаком проекции силы F на ось Ox. Проекция силы отрицательна для положительного х. настройка Дифференциальное уравнение Мы получаем d2x_ de dr2 «dx» Если вы разделяете переменные с x = R v = v0, de_ gR2´dx x2 * И с учетом обоих интегралов, Найти здесь Чтобы определить максимальное расстояние x ™, установите c = 0 в зависимости от скорости. Из последнего уравнения получаем xn = 2gR2 / (2gR-vi). Видно, что расстояние xm равно бесконечности, когда скорость e0 увеличивается и vtt = yj2gR.
Это можно интерпретировать так, что точки, выброшенные с большой скоростью из земли, не возвращаются На землю. Получение g = s9,8 м / с2, I = 6,4106 м, vo = 72j = 11,2 км / с. Скорость 1> o называется второй объемной скоростью. Это минимальная скорость, необходимая для полета космического корабля на другие планеты Солнечной системы. Минимальная скорость космического корабля становится; H «и ^ T2 — скорости osmiclk1K. Ateriaru Рисунок 10 Масса m (рис. 10) движется в фиксированную точку под действием F-притяжения.
Эта сила пропорциональна массе точки, которая обратно пропорциональна кубу расстояния между точками. Коэффициент пропорциональности равен 1. • Начальный Определите решение уравнения. Выбор точки O в начале координат силы F при F = m / xJ. Если задано направление движения точки ci: 1 ° dx ~~ x3. Разделение и интеграция переменных Уравнение, мы имеем После замены Для интеграции Уравнение излучения мы имеем Закон движения точки может быть выражен в следующем виде: / 4 + 2 /.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Дифференциальные уравнения движения материальной точки | Криволинейное движение материальной точки |
| Две основные задачи динамики точки | Движение несвободной материальной точки |
Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
