Оглавление:
Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Рассмотрим следующую форму интеграции Φ ())= два г) топор, (54.1） Но… Где. -oo ^ a 6 + oo, переменная y принадлежит некоторым некоторые (особенно все) значения Y У и интеграла (54.1) неуместны. § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров 304. Определение 1.Для каждого Va> V Интеграл б φ0/ о)= $ /(, йоу） Сходящийся Интеграл (54.1) называется сходящимся в множестве V. В дальнейшем, если не оговорено иное, мы будем рассматривать только в том случае, если условия будут выполнены. 1) ОО и 6″^ + ОА; 2) для любого l / eK функция/(x, y) о x интегрируема по Риману на каждом интервале[a, m].Где r / такой m] 6. В этом случае сходимость Интеграла множества V (54.1) означает, что существует предел для любого y eK. Я б Фут $ /(, г) ух = у (х, г) ух ч-е-ОА о (Если 6 = + oo, то 6-0 = + oo).С Б и Б \ 1 {х, г)ух -!{Х, г)ДХ = 11 (х, г) ДХ.
Определение сходимости выше и равномерная сходимость интегралов аналогичны соответствующим определениям ряда. Людмила Фирмаль
- Затем, из того, что было сказано, о каждом фиксированном、 б ФМ / (х, Г) Т-0. б $ /(*, г) ых я 6. (54.2） Итак, если Интеграл (54.1) сходится к множеству V, то для всех фиксированных y eks, для любого числа e 0 существует χ=χ (y)+, а η+ Условие, что зависящий от параметра неправильный Интеграл является истинной теоремой, аналогичной той, которая была доказана в предыдущем разделе внутреннего интеграла, основано на концепции равномерной сходимости так называемого Интеграла. Как уже упоминалось, предположим, что интеграл (54.1)удовлетворяет приведенным выше условиям 1) и 2). Определение 2.Интеграл B, сходящийся к множеству V § / (x, y) yx называется множеством Но… Фактически, если значение СЬ существует для ε0、 54.1.Равномерная сходимость интегралов по параметру 305 все / / EY и все м)4Э 4& неравенство б ! (х, г) о е.
В рассматриваемом случае b может быть либо конечным, то есть числом, либо бесконечным, то есть+ oo. Таким образом, в приведенном виде определение равномерной сходимости подходит как для интегрирования в конечных интервалах[a, b], так и для интегрирования в неограниченной форме подынтегрального выражения и интегрирования в неограниченной форме подынтегрального выражения в неограниченной форме и в неограниченной форме интегрирования[a,+ oo]. (см.§ 36.1 и 36.3).Между ними существует реальная связь. {м) ч}до 41 = а » 4Н ^ [а. Б), где N = 1, 2,…, и п * * оо Наряду с Интегралом (54.1) рассмотрим ряд oi + 1 (54.3） 2 ^ /( * , г) УГ. Пусть будет так * = 1 Т, А n-1 CHA + 1 CHA 5л (г)= 2 5 г) топор = $ НХ, г) ЛК Г \ а-его частичная сумма.
- Тогда, если Интеграл (54.1) сходится к множеству (каждый сходится равномерно), то, очевидно, последовательность (54.3) также сходится к множеству У (каждый сходится равномерно). В то время как б％ $ /(*, г) ух = Хм ^ /( * , г) ух-= Пт 8н(г）、 а п * оо п * со То есть рассматриваемый Интеграл будет равен сумме рядов(54.3). Определение равномерной сходимости интегралов можно перефразировать следующим образом: б Пт Зир о c-t-V Г (х, г) ЛК = 0. (54.4） Определение 2’.Множество Integral Интеграл (54.)) Сходимость называется сходящейся равномерно в этом множестве F; $ 4, частичный Интеграл 306. б $ ИК \ 1(х, у) (1х е Ле л б Фактически, если Интеграл (54.1) сходится равномерно к множеству в в смысле определения 2, то для ε0 существует m] b, а для y∈V и m) e m) 5 справедливо неравенство(54.2).
За этим последовало(54.4). И наоборот, если Интеграл задачи сходится равномерно к множеству в в смысле определения 2, то условия любого ε0 (54.4) состоят из y e V и M / 8 m / 6,а также неравенств (54.2). Ноль А если подумать об интеграции П (г, г) 0х、 х И, по-видимому, условие (54.4) указывает, что этот интеграл по Y равномерно равен −0 (здесь В минимологии пункта 39.4 параметром является y, но не y, а переменная l） ф(г, (х, г) топор(54.5） для m) функция из b-0(54.1).
Равномерная сходимость множества интеграла (54.1) также подразумевает равномерное всасывание множества функции функции. Людмила Фирмаль
- Действительно, последнее существует r | E b для (см. ε 39.4) ε0, удовлетворяет условиям% и b для каждого r и имеет Неравенство для всех y∈U |Ф ( / ) Ф (у, л) 1. Б в б Φ () Φ(y.))= 5 /(*.Г)Ах -!(Х, г) топор = [1 (х, г) топор. Но… Но… *） Так… $ /(*, год） х е. Но… Итак, условие Φ-6-0 Φ (y, η)=ФΦ(y) соответствует условию в определении 2, то есть равномерной сходимости множества интегра (54.1) интеграла. 54.1.Равномерная сходимость интегралов по параметру Ш7 4 * 00 Образцы. Подумайте об Интеграле Φ (y)= $ yy-huh. In качество О В множестве У мы используем полуось 0 (Y. Для O этот Интеграл расходится). это легко.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
