Оглавление:
Основные определения
- Определение ключа Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое включает в себя независимую переменную, неизвестную функцию и производную этой неизвестной функции. В этом случае производная должна быть введена в уравнение, а независимая переменная и сама искомая функция могут быть явно не включены. Например X / + Y / + 3 = 0, / + / = 0, / + x = 0, / + / = 0, г Второе и третье уравнения не содержат явно неизвестных функций, а четвертое не содержит независимых переменных, но является дифференциальным уравнением.
Вот пример дифференциального уравнения первого порядка. y ‘+ x’y ~ x * + \, / = / (* Y). ~ Jx = xy- Примеры дифференциальных уравнений второго порядка: / + 5 / + 6_y = 0, f = * /, y «+ yy ‘= 0, y» = f (x, y, y’), F (x, y, y ‘, f) = 0.Примеры дифференциальных уравнений второго порядка: Y + 5y / + 6y = 0, / = x /, / + yy ‘= 09 Уравнение xy + yy ‘= 0 является дифференциальным уравнением третьего порядка.
Высший производный порядок дифференциального уравнения называется порядком дифференциального уравнения. Людмила Фирмаль
Уравнение yw + y = 0 пятого порядка. Примером дифференциального уравнения порядка n является уравнение. ^ Y. dJl I vV_o dx * + dx + * y-u- Решить или интегрировать дифференциальное уравнение. Это означает поиск функции, которая, будучи назначенной дифференциальному уравнению, превращает ее в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения.
Например, функция y = xx является решением дифференциального уравнения xy «-y ‘= 0. Собственно, y’ = 2x, y» = 2; подставляя y \ y в «уравнение лгу» -г » = 0, 2x-2x = 0, то есть идентичность получена. Если решение дифференциального уравнения содержит очень большое количество независимых констант, которые являются порядком уравнения, такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Давайте объясним, что называется произвольной произвольной константой: Константы, включенные в решение, называются независимыми, когда они включены в решение, поэтому вы не можете заменить две или более комбинаций, чтобы уменьшить количество констант путем введения новой константы.
- Например, если y = Cxx — \ — Crx — \ — Crx, это включает в себя три константы Cv C8 и C. Однако можно переписать данное уравнение в виде y = Cx2 + 1 (C1 + C2) x. Если C2 + C представлен C, последнее уравнение можно переписать в виде: y ~ Cx * -f C. Поскольку это уравнение имеет только два C и C, исходное уравнение является константой. Cv Cg и C не являются независимыми. Кроме того, учитывая уравнение y = C, sin * x + + C2 cos8 * + C8, V ~ Cx sin ‘-f-Cj (1-sin8 x) + C9 = (C1-C,) sin2 lg + (Ca + C,); Cj-Ct в C4, Cg + Cg в C4, y = SAp * x + Cr
Пример 1. y «- (- jf = 0 имеет общее решение y = Cx cos x + F-Cr sin x Общедоступное решение для определенного значения любой константы называется конкретным решением. Например, если Cj = 0 и C2 = 1 в предыдущем примере, получается ^ y = sin d:. Это конкретное решение. Геометрический смысл общего решения. Общее решение дифференциального уравнения — это семейство кривых, зависящих от любого числа констант.
Следовательно, в уравнении Y = CX sin1 x + Cr cos * x + C константы Cv Cr и Cr не являются независимыми. Людмила Фирмаль
Равен порядку дифференциального уравнения. Некоторые решения включают кривые в указанном семействе в виде графиков. Эти кривые называются интегральными кривыми. Часто проблема заключается в том, что конкретное решение должно быть определено в соответствии с исходными данными или начальными условиями. Задачи заключаются в следующем: Дано дифференциальное уравнение Найдите решение ^ = <p (q), где x-a принимает значение φ (a) ==, или найдите решение, где то же самое проходит через данную точку (a, b).
Координаты этой точки являются исходными данными, или Начальное состояние Например, уравнение у ‘; х Общее решение — y = Cx (y ‘= C, поэтому подстановка в уравнение дает тождество). Учитывая значение x-2 ^ = 6 (это исходные данные), нам нужно отделить определенные вещи от общих решений. Предполагая, что уравнения y = Cx x = 2y и y = 6, мы получаем 6 = C-2 и определяем C из этого уравнения. Вы можете видеть, что C = 3. Следовательно, y = 3x является предпочтительным конкретным решением. Дифференциальные уравнения обычно возникают при решении геометрических и физических задач.
Это потому, что обычно легче установить производную (или производную) связь, чем связь между величинами. Это Ch. Как видно из примера, использование дифференцирования объясняется тем фактом, что могут возникать бесконечно малые ошибки более высокого порядка по сравнению с приращениями независимых переменных. См. IX и XII и пункт 4 в следующем абзаце.
Смотрите также:
| Частные производные | Дифференциальные уравнения первого порядка |
| Семейство функций | Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике |
