Основные операции над тензорами

Основные операции над тензорами

• Основные тензорные операции. Основные операции Выше тензор называется 10 операций сложения и вычитания. зоров, операция умножения числового значения на тензор, операция умножения Тензор, операция затвердевания тензора, операция перестановки Управлять тензорами, балансами и чередующимися тензорами. Перейдите к определению этих операций.

• 1 °) Тензорное сложение и вычитание. Операция есть Вычитание определено для однотипного тензора. Пусть A и B — два тензора типа (p, q), а A ^ «\ h и B ^» \ h— Координаты этих тензоров одноименные в базе е ^. Сумма этих тензоров A + B (разность A-B) называется тензором. Разрыв с базой е ^ координата dk-L … kq -Rk1 … kq (dk-L … kq Ах … IP + Bh … IP (Ах … IP 5) В выражении yi суммарный индекс обозначается как k ‘.

К этому определению тензорных операций сложения и вычитания. Людмила Фирмаль

Если канавка правильная, координаты Дин суммы (разности) тензоров по закону преобразования (8.19) Тензорные координаты. Чтобы сделать это, представьте, По методу (8.19) преобразование координат тензора A описывается следующим образом: Логическое выражение для преобразования тензорной точки B. Тогда, Сложение (вычитание) двух выражений для такого преобразования координат.

Тензор A и B, суммарные координаты (разница) Преобразуется по закону преобразования тензорных координат. 2 °) Умножение на тензорные числа. А тензор pa (p, q), база имеет e ^ координату A ^ «\ q, a произвольно Реальное число Произведение а тензора А на число а является тензором Это основано на е ^ координате аА ^ «\ q.

Дело в том, что координаты aA ^ «A q преобразуются по тензорному закону, Смотрите непосредственно из формулы (8.19). 3 °) Тензорное умножение. Тензорное умножение Определено для любого типа тензора. Пусть A — тензор типа (p, q) с этой базой Указывается ^ «\ h, а B — тензор типа (r, s). Все координаты B ™ 1 ‘»™ 3.

Определить произведение D = AB Тензор A и B составляют произведение всех видов координат Преобразовать тензор A в тензор B координат Индекс /] , …, 1G и? 7ii, •••? В координатах мс тензор B Высокий индекс. Т.е. l1 = ip + i, …, lr-ip + r и ^ i = ••• i ™ s-kq + s • Произведение D = AB тензора A и B является тензором pa (p + r, q + s), с координатами T- \ k \ … kqkq ) — 1 … kq- | -s a k \ … kq T ^ kq — \ — 1 … kq ) — s L> h … ipip + 1 … ip + r-Ah … ip * i i

Чтобы убедиться, что координаты D ^ 1 «^ ^ 9 + 1» g + s определены Конвертируется при переходе на другую базу в отношениях (8.30) Закон преобразования тензорных координат, то есть Просто установите тензорные координаты и напишите формулу Координаты A ^ «\ q и Biq + ^ ‘» i q + rs тензорного преобразования (8.19) Умножьте A и B и правую и левую стороны этих выражений.

В результате Если вы ссылаетесь на отношение (8.30), легко получить требуемое выражение cl в | _ в _ | _ Преобразование координат D ^ «\ \ ^ ‘V q + ^ s. Замечания. Тензорная операция умножения не имеет свойств Выпрямление: как правило, А.Б.Ф. В. А. Это объясняется Факт определения порядка индексов в тензорных координатах «Номер» этой координаты.

Следовательно, числовое значение выражения и и и и и и и и и ЛП..лр ^ ip + 1 … ip + r И *> ip + 1 … ip + rЛп..лр Аналогично, порядок индексов в этих выражениях отличается. Следовательно, они соответствуют координатам с разными «числами». Это И АБ Ф А. 4 °) Тензорное затвердевание. Операция коагуляции применяется Относится к тензорам типов pр0 и q 0 0 (p, q) (т.е. ru есть как минимум один верхний и один нижний Index). Пусть A — тензор указанного выше типа.

Перейти к описанию операции Рация. Отверждение тензора А Верхний индекс и нижний индекс. Кроме того, в результате затвердевания Получите тензор типа (р-1, д-1). Например, в каждой координате тензора A Индекс числа m и индекс числа n: Суммируем (свернем) одну тензорную координату Подсвеченный индекс. Это даст вам:

Тензорные координаты, полученные складыванием вверх и вниз Он индексирует с числовым типом: В / Это (8-31) (В формуле (8.31) мы использовали правила сумм). Количество (8,31) действительно Вы — тензор типа (р-1, д-1). Для этого используйте уравнение (8.19). Перепишите эти формулы в следующую форму: индексы США (подчеркните эти индексы): .

k я … / ^ _ ™ …? ; q _ ^ ‘r jkjn_ hk’ <ihii tfn i ^ ‘p dk1 … ct … cd / ^ „^ <t * -AI l Al Al или. , , Или. , , Или U-я. , , U-I. , U-I l ± -¦ ¦. IO.OZI I \ … L n ..Лp K к L ободу Kq 11 In I p l \ ..Лп •• Лрv / Следующее суммирует правую и левую части (8.32). Назначенные индексы k’t и ifn. Для этого Достаточно поставить эти Индекс равен ‘и использует общее соглашение. Результат равенство.

• Найти выражение Левая и правая части этого равенства Четко выраженный На правой стороне, b% x b? Продукт 5 ^. Это значит Объединитесь при kt = rn = a, равном нулю при kt f rn. Вот так Справа находится следующая формула: $ 1 … b2ga?; — ° ;;;? ;. (8,34) Сравнение уравнений (8.33) и (8.34) Однако Aii » a » i q конвертируется при переходе на новую базу в соответствии с законом Теперь тензорное преобразование координат.

Замечания. Термин «затвердевание тензоров» также используется И в следующем смысле. Рассмотрим два тензора A и B в первой координате Существует по крайней мере один верхний индекс k и вторая координата идти — по крайней мере, один низкий индекс g. Построить произведение AB из этих тензоров и затем выполнить операцию Приемопередатчик тензора AB верхнего и нижнего индекса Индекс г.

Очевидно, этот тензор Тип (р-1, д-1). Людмила Фирмаль

Эта операция обычно использует следующие термины: «Затвердевание тензоров A и B с индексами k и g» 5 °) Переставить указатели. Эта операция Тот факт, что индекс каждой координаты тензора является подчиненным на некотором основании Подлежит той же перестановке. Это значит, что мы разные Метод «нумерует» координаты этого тензора.

Читателям предлагается Он пытается проверить, что результат является тензором (отлично, Вообщем это было дано). 6 °) Симметризация и чередование. до Введение в понятие симметричных и деформационно-симметричных тензоров Ров. Тензор А с координатами Все «я и я (8-35) Называется симметричным относительно нижних индексов rs и rn.

Перестановка этих индексов 6) Тензорные координаты А не меняются Значение, т.е. кк кк 6) перестановка тензорных координатных индексов, Вообще говоря, вычислите координаты другого тензора. Соотношение (8.36) называется условием симметрии тензора А. Индекс с номером типа. Тензор А называется кососимметричным относительно нижнего индекса рН связь при перемещении этих индексов дкг … кд дкг … кд / фут о ^ \ L, «A A A» L «, A A A • lO.OM

Соотношение (8.37) называется условием асимметрии тензора A. По индексу с более низким номером типа. Также введены понятия тензорной симметрии и косой симметрии. Два верхних индекса. Замечания. Когда условие симметрии (косая симметрия) является низким Индексы rm и rn заполнены тензором этой системы A Для координат это выполняется в другой системе координат.

Далее мы вернемся к объяснению операции баланса. Пусть A — тензор типа (p, q) с координатами (8.35). Переставить с Каждая координата нижнего индекса с номерами m и n Построить тензор A (w ^ n) с координатами «Q г д V (8’38) Операция построения тензора ^ 4 (m, n) называется следующей операцией. Тензор Метрика с индексом числового типа.

Тензорные ^ 4 (m, n) координаты (8,38) обычно характер Все. ». ». (L … in) … ip- (8-39) Очевидно, что для тензора ^ 4 (m, n) условие симметрии (8.36) На основе числовых индексов. Операции для балансировки тензоров с верхними индексами Типы рами определяются одинаково. Построенный тензор Символом A ^ m’n). Координаты тензора A (m’n) Значение аналогично координатной записи (8.39) тензора-4 (m? N).

Работа с нижним индексом переменного тензора А Типовые меры: Индексы переставляются по каждой координате тензора A Он имеет числовые значения m и n и тензор A [m? n] с координатами И м > \ … рв д / т * ^ 1 ••• * ^ д i1 … im … in … ip gg..lp..Am … Операция построения тензора ^ 4 [m, n] называется операцией Конец тензора A по индексу числа тип. Тензорные ^ 4 [m, n] координаты (8.40) обычно обозначаются символами.

Очевидно, что для тензора ^ 4 [m, n] условие косой симметрии Нижний индекс im и gp аренды (8,37). Операция по изменению тензора надстрочным индексом im и in Определяются аналогично. Построенный тензор обозначен символом Используйте обозначение ^ -m ^ n \ для координат записки ^ ^ т’п \ тензор Аналогично обозначению тензорной координаты A mn. В заключение отметим очевидное равенство A = A (t, n) + A [t, n] —

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Понятие тензора	Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве
Примеры тензоров	Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора