Ортонормированные системы

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Ортонормированные системы

Ортонормированные системы. Определение 1. Пусть X-линейное пространство полуквадратного произведения. Элементы xeX и y e X называются ортогональными, если (x, y)= 0.In в этом случае x_1_y также записывается. Определение 2.Элементы линейного пространства X с полускалярной системой произведений xa, aeJ (21-множество некоторого индекса) называются ортогональными, когда каждый из 2-х элементов является orthogonal. In кроме того, если норма любого элемента равна единице, то есть [ha || = 1, но e 21, то она называется ортонормированной. ■ Очевидно, что если система ha, ae21 ортогональна и ha’F0 для всех e 21, то она может быть «нормализована». фактически, если разделить каждый элемент на его норму, то есть умножить ha на число 1/] ha|, то получится ортонормированная система Если X-скалярное пространство произведений, то вспомним, что условие 1 x | / = ^ 0 эквивалентно факту xΦ0. 58.Регулярная основа и их развертывание 472.

Определителем этой системы является транспонированный грам-детерминант, который равен нулю в силу гипотезы леммы, следовательно, система (58.1) имеет нетривиальное решение. Людмила Фирмаль

Лемма 1.Если система\ xa, e 21}элемента в пространстве X с полуцветным произведением ортогональна|ha / Φ0 для всех ae / 1, то она линейно независима. Доказательство. Давайте рассмотрим некоторые элементы Га / г, к = 1, 2,…. н、 У нас есть + ^ 2×2 + * + ^ ПХ с = о. Если вы умножите обе стороны этого уравнения на скаляр, то k будет фиксированным (k = 1, 2 i), и это будет выглядеть так: ^ * к(крюк, −0、 По ортогональности системы (га /., hack)= 0.] Фк. Далее следует отметить, что, по предположению, мы получаем hakΦ0, а следовательно (Хак, Хак) Φ0.λ* = 0, λ= 1, 2,…н. Линейная независимость системы ha, ae31, была доказана. Докажем еще одну лемму, представляющую критерий линейной независимости функции относительно скалярного произведения 0.

Лемма 2.Элемент системы СИ…, Для XN в пространстве X со скалярным произведением, определителем С(Х1, хп)=(Х1, Х1) (Х1, х,..). (Х2, х1)(х2, Х2). 。(Х хр） * (^2 * л） (Хп, Х2) (хп, Х2). (-^ л» ^ л） Если она равна нулю, то система зависит линейно. Определитель O (x1,…xn) называется определяющим гамма-кадром * * конкретной системы. Доказательство. с N неизвестными、-、1 = 1、2、…представьте себе систему из N линейных уравнений с n. {’Kfhf .. .\’knhn, X{）= 0、1 = 1、2、…, п, (58.1) или С * 1 Х1)+ … + К(хп, ЛД= 0、1 = 1、2、…н. … …(…Т. е. равна нулю).Умножаем на равенство (58.1)и суммируем от 1 до 1 р. (КХ \ + • * + Yalkhl, УФ + … + Ялхл)= 0. * И. грам (1850-1916) датский математик. 58.1.

Ортогональная система 473. Следовательно,^ 0 * 1 + … + Kxn = 0 означает линейную зависимость системы xx xn. Тс Упражнение. 1.Если конечная система элементов в предгильбертовом пространстве линейно зависима, то ее граммовые детерминанты оказываются равными нулю. 2. Если {(Оа} является ортонормированной системой, то для любых 2 ее элементов КоА и КоА оказываются равенствами 1МА ’(я1 = К2.Фа、 3.Функции aj,$ u] доказывают, что 3L, 5111 oX, km7x и kxEx линейно независимы. Пример: измерение 1.Тригонометрические системы функций 1,0808Х, 8шл.$ 2л., 8sh2kh, так и ПХ, в…(58.2） В пространстве 12 ортогонально [i, z] (см.§ 57.10) это было доказано в Лемме§ 55.1 1.

Один Один р—, р =. С08 Х、 V 2-й пакет * 81PH、 На Л С08 ПХ、 Я не уверен. 。 81P PX. 。 Из Формулы (55.4) / / / $ m / / = / i, / совпадение!1=] уп, П = 1, 2,… Поэтому формат ортонормированной системы, соответствующей системе (58.2), является По(х)= 1 Пн (х)= Один 2 ″ я! ДП(х?-1)Д yhp 。 n = 1, 2. (58.3） 2.Полиномы Пн(х）(2р-1)!!Я! XP + Это называется полиномом Лежандра. Из уравнения (58.3) видно, что Pn (x) многочлен степени N. Покажем, что система (58.3) ортогональна в пространстве T2 [-1,1]. для этого докажем, что более общее утверждение, то есть полином лежандля Pn (x), ортогонально любому многочлену 0.T (x) степень T. S. p. я заметил формулу раньше. й * (2-1)）» Точка. В =-1 k = 0, 1, 2,…если N—1 аннигилировано и x = 1, то оно интегрируется на часть. $o. t (x) 1) n y x = … =(о » & (Х)$ АП-Т(ХГ-1) я yhp-Т да=(1Г) М ДП-Т-1(х * −1) » | 1 ОХП-Т-1 −1 = 0. −1 § 58.

В этом случае рассматриваемая система функций состоит из полиномов, а следовательно, из линейной независимости в одном отрезке. Людмила Фирмаль

Регулярная основа и их развертывание 474. Подобный этому Один 5 () РП () УГ = 0, ГП П] −1 Особенно Один 5 ПМ (х) РП (х) ух = 0, ТФП. −1 Вычисляется норма полиномов Лежандра. пн(х)=(2л ^ 1)!! хп +(х） Где (x)-многочлен Порядка n-1 или меньше и получается с использованием ортогональности для всех многочленов более низкого порядка Pn (x). + 1 1 (2р-1)!! н \ Один / РП(х） хр-ых = (2й-1)!! Р \ н (2Н) \ 3 а * (*2-1） » yhp ХХП. $ Р-н (х) ЛК = | РП(х) [(2й-1)!! Х «+(2л-1(х)] г = −1 (|(Х2-я)» * 2 х * х = .. [X ух ^ = ^ гг Подобный этому −1 −1 Если вы консолидируете части по очереди, это будет+ 1 1 5 CFM».. 5-» /（*•—1）=это будет то же самое. Полиномиальная система Лежандра линейно независима в пространстве T2 [-1, 1], аналогична ортогональной системе ненулевых элементов (см. лемму 1).

Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.	Ортогонализация.
Пространство L2.	Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра.