Определения предела

Определения предела

• Определение ограничений Определение 1. Число I называется пределом функции f (x). Это связано с тем, что если абсолютную разницу I- / (x) можно сделать сколь угодно малой для всех значений xy, достаточно отличных от a, то x стремится к a. Замечания. Во многих случаях вместо предела функции используется «предельное значение функции».

Где функция = число / = 1, число а = 0. 1 грех х ^ Л1-> 0, так I_sin x л грех х л = 1 ——; с другой стороны Сторона, 1 — меньше, чем возможно X A Если x выбрано достаточно маленьким, то есть достаточно близким к нулю, сделайте его сколь угодно малым. Таким образом, используя определение, мы можем сказать, что функция имеет предел 1 при условии, что x стремится к нулю.

Давайте проиллюстрируем это определение на примере, описанном в §2. Людмила Фирмаль

Поскольку предел обозначен лимбом, / = lim / (*). х — * — это Например .. smx -lim- = 1. Х о х Это можно сформулировать следующим образом: Предел отношения синуса к аргументу равен 1, при условии, что аргумент стремится к нулю. Пример 1. Указывает, что функция y = 2x + 1 имеет предел, равный 5, а x имеет тенденцию равняться 2. Для доказательства рассмотрим разницу между числом 5 и выражением 2x — \ — . Переводя эту разницу, 5- (2l: +1) = 5-2x— 1 = 4-2x = 2 (2 — x). Поскольку | 5- (2l; +1) | = 2 | 2 — x \ y, то, если x достаточно близко к 2, абсолютное значение разности | 2 — x \ мало, поэтому произведение 2 (2-x \ Тоже маленький.

Следовательно, абсолютное значение разности может быть сколь угодно малым для всех значений x}, близких к 2, что означает lim (2l: +1) = 5.х г Этот пример отличается от примера, обсуждаемого в §2, следующими способами: Вычисление значения функции y ~ 2x — \ — \ с jc = 2 дает 2-2 + 1 = 5. Другими словами, значение функции y = 2x + \ при x = 2 равно пределу этой функции.

• В примере § 2 была разница. Есть значение функции Если x = 0 не существует и тенденция этой функции π: быть равной 0 равна 1 Это различие выражается словами: функция может достичь своего предела (пример 1 в этом разделе), а функция не может достичь этого предела (см. §2). Если независимая переменная растет бесконечно, дается другое определение предела. Определение 2. Если абсолютное значение разности I- / (x) может быть сколь угодно малым для всех достаточно больших значений независимой переменной, число I называется пределом функции f (x) С неограниченным увеличением. 4х * 4-1

Пример 2. Предел функции y = — Неограниченное увеличение x равно 4. 1 Рассмотрим разницу 4- и ее абсолютное значение д » 1 1 X2 X2 ранг 4_i *! ±! L = J_ X2 Если абсолютное значение х велико, х I I 4 ** Так как 4-11 большое, p мало, поэтому разница составляет 4 — ^ — J Если х большой, он будет маленьким, это предел х 4х * + \ 4. Условие «неограниченное увеличение» записывается следующим образом: x — «- oo. Результат примера 2 может быть записан как: f 4 ** + 1. hm -i- = 4. x2 X- * С L

Неограниченное увеличение функции — ^ — x равно Людмила Фирмаль

Если абсолютное значение увеличивается бесконечно, оставаясь отрицательным, независимая переменная уменьшается бесконечно. Пример 3. Если значение x равно –10, –100, –1000, –10000, –10, значение уменьшается бесконечно. Предел функции с независимой переменной, неограниченно убывающей, определяется, как в определении 2, но вместо термина «все достаточно большие значения» используется термин «все достаточно малые».

В то же время Слово «достаточно мало» означает, что число отрицательное, а его абсолютное значение велико. Ограничения при этом условии описываются следующим образом: лим / (х). * -> — 00 2X я Пример 4. Показать, что lim — == 2. * -> — < »х 4-1 Рассмотрим 1 разницу 2 —. Х х o 2 * + 1 111 Я х \ х Однако, если x отрицательно, а абсолютное значение велико, — имеет небольшое абсолютное значение, которое является значимым x 1. Если xy уменьшается бесконечно, 2 обманывает, что это предел функции *.

Применяя показанные обозначения, экспоненциальная характеристика — гл. IV и §2 можно записать следующим образом: lim ax = oo (a> 1), lim a * = 0 (a> 1), Ширина х Х lim a * = 0 (0 — сс Замечания. Абсолютные значения были использованы во всех определениях ограничений. Это происходит потому, что функция приближается к пределу, становится меньше, становится больше и, в конечном итоге, колеблется, то есть становится больше или меньше предела. Чтобы говорить обо всех этих случаях сразу и уметь использовать абсолютные значения.

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Приращение функции	Свойства пределов
Исследование функции sin* при значениях	Предел lim (1+jc)*. Число e