Определение непрерывности функции

Определение непрерывности функции

• Определение непрерывности функций. Точка a относится к области назначения функций* / {%}, а окрестность e точки a содержит точки, отличные от точки a в области назначения функций ** Функция / {%} вызывается в точке a, если функция[(x) имеет предел в точке a и этот предел равен частичному значению функции [(a)} (x)в точке A. По пункту а, используя определение предела функции»/= / ( % ). Хейн и

коши, мы приходим к определению непрерывности функции в точке A, заданной Гейне и коши. О П Р Е Д Е Н и Е1(Н Е П Р Е Р С В Н О С Т Е Т О Ч К Е а по? Г-е). Функция y=!для последовательности сходимости значений аргументов a, X1,%2 и xn соответствующая последовательность значений функций равна/(%1) и/(XG). / (HGA), сходятся к числу/(a). З а м е ч а н и Е1. По сравнению с определением пределов функции Гейне 1 (см. пункты 2,4, Глава 3)

в определении непрерывности Гейне все элементы последовательности{CP} Людмила Фирмаль

отличаются от a В главе 4 Y28. Непрерывность функций О П Р Е Д Е Л Ен и Е Е1*(Н Е П Р Р С В Н О с т е в Т О Ч К Е а по К Ош и). Если для любого положительного числа e существует соответствующее положительное число 6, то для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию\x—a|<6, справедливо неравенство|(x) — /(a)|0. Непрерывное состояние функции/(x) в точке a может быть символически представлено следующим уравнением:K t G(x)=/(«). Х~ а

именно: Поскольку B=1sh1x, это уравнение можно определить как- х — +а Надлежащая форма: Это/(x)=/(и th). х->а х->а Поэтому для непрерывной функции в точке а можно заменить символ / характеристику бесконечного переходного символа Kt x — ‘ AA и его функцию. Из теоремы об эквивалентности определения предельных значений Хайна и коши (см. Главу 3 2, теорема 3) следует, что определение непрерывности функций Гейна и коши (определения 1 и 1*) эквивалентно. Сформулируйте определение односторонней непрерывности функции^(x) в точке A. Из множества{x}назначения

• функции/(x) необходимо запросить, чтобы это множество содержало точку a и любые 6>0 имели хотя бы один элемент в интервале (a, a+6). Л Л О О П Р Е Л Е Н И е п р е р ы й В Н О С Т И В * Г * А С П Р А В А[СЛ Ева]. Функция}(x), если [левый]предел правой части этой функции в точке a существует и равен частичному значению функции[(x) в точке a, то значение функции[S L e]в точке A. Используя определение правого [левого]предела функции / (x) точки a по Хейну и коши, мы приходим к определению.Непрерывность функции/(x) справа в точке a[слева] по Гейне и ЛО Коши.§1. Концепция функциональной непрерывности 129 О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2(Н Е П Р Е Р С В Н Ы Й Т У Ж Н

К И Й в А С П Р А В А [СЛ Ева] на Г е й н е). Функция (x), для любого сходящегося столбца значения аргумента[Xn], если это все элементы, удовлетворяющие условию xn>a[xna[HGA,/(A) любое число, равное (a), может быть заменено. В условиях применения H » >a[h pa+0[NT/(x)=/(a) или/(a-0)=/(a)]. Ноль З а м е ч а н и Е3. Если функция [(x) является точкой a и смежна слева и справа, она смежна в этой точке. Действительно, благодаря этому утверждению, которое было доказано в главе 2, главе 4, разделе 3, в данном случае существует предел функции точки А, который равен/(а).

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками t a и p A z P s этой функции. Возможный пример. 1) степенная Людмила Фирмаль

функция/(x)=XL (где n—натуральное число и непрерывно в каждой точке A бесконечной прямой (- OO,+OO). В самом деле, в главе 3 установлено, что предельное значение этой функции в любой точке A бесконечной прямой равно частичному значению AP. 5 Зак 72130Ч. 4. Непрерывность функций 2) полиномы и рациональные дроби имеют пределы, равные частичным значениям в каждой точке области задачи(Глава 3, I. (см.§3 § 4). Таким образом, они являются непрерывными функциями в каждой точке рабочей области. 3) функция/(x)=Z§px имеет зазор при x = 0 и смежна во всех других точках числовой оси. На самом деле, как мы видим в главе 3, в точке x=0 существует предел для правой (равной+1) и левой (равной -1)

функций z§px. Поскольку эти односторонние ограничения не равны друг другу, функция z-px в точке 0 является прерывистой (не непрерывной). В других точках оси предельное значение равно частичному значению и является непрерывным. 4) функция Дирихле P (x) (см. Главу 4, 3) прерывна в каждой точке на числовой оси, поскольку она не имеет предела в любой точке. Заметим, однако, что функция/(x)=x-P(x), где P(x) — функция Дирихле, непрерывная при x = 0 и прерывистая во всех других точках бесконечной прямой. Разрывность/(x) в любой точке Xo=I=0 состоит в том, что в любой последовательности, сходящейся к функции O(x) (XO{x»}

рациональная точка, соответствующая последовательность{/(XGA)} сходится к числу XO= / =O, а XO{xxp} Проверим, что функция/(x)=x-P(x) непрерывна в точке x=0. В случае бесконечно малой последовательности значений аргумента{CP} последовательность{P (x»)} имеет границу, поэтому (по теореме 3.3 Главы 3) последовательность/(HGA)=CP-D (HGA) бесконечно мала, т. е. это не бесконечное число. Если он непрерывен во всех точках этого множества, то он говорит функцию n a на n e e e{x}n e p R e r s. Например, функция, смежная в каждой точке интервала, называется функцией, смежной в этом интервале. Если каждая внутренняя точка

этого сегмента непрерывна в точке а справа,а каждая последующая в точке Б слева, то функция} (x) n e n e r s должна быть преобразована в сегмент А. Предполагается, что точка а не имеет точки в области задачи функции, а точка а не имеет точки в области задачи функции. В данном случае формально.Особенности. Но все содержание понятия непрерывности функций, как раз и относится к§1. Концепция функциональной непрерывности 131 Области определения- если a-точка разрыва функции. Определение непрерывности функции функции, соответствующей форме. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е.1*функции|(х) * См. Главу 3,§5. Для любой окрестности точки a такая окрестность

точки a, называемая N e N R E R s в точке A T{(a), является множеством заданной функции в этой окрестности точки a. Из добавления 2 к главе 12 видно (даже в более общих ситуациях), что последнее определение непрерывности эквивалентно предыдущему. Предлагается в качестве упражнения проверить это. На основе заданий, введенных в главе 5, Главе 3, можно использовать общее определение пределов функции/(x)для определения непрерывности точки А, точки А, точки а, правой и левой точки А. Он содержит точку a и допускает основание в виде x — ^ — a, x — +a+0 или x — ^ — a-O*. Функция/(x) называется непрерывной в точке a, когда границы базы в момент ее присвоения присутствуют и равны следующим значениям /(«)•

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Определение криволинейного интеграла первого типа	Раскрытие неопределенностей других видов
Сведение к обыкновенному определенному интегралу	Вычисление числа е на ЭВМ