Определение двойного интеграла

Оглавление:

Определение двойного интеграла

Определение двойного интеграла. Перейдем теперь к более общей постановке вопроса с чисто аналитической точки зрения. Но и здесь мы не можем обойтись без геометрии или, по крайней мере, без геометрических языков[n°124-127]. Мы будем говорить о «двумерной области» (Р), где определяется функция идеи двух переменных,»кривая»разбивается на частичную»область», и мы

получаем»область»этих»областей». На самом деле это»области»и»кривые»Р и Ф М Е Т И Ч Е С К О Г О двумерного пространства, а их»точки»-это п Ары ч и сел. Обычно все эти «изображения» заменяются соответствующими реальными геометрическими изображениями для удобства,

не внося в них никакой разницы. В частности,»областью области» арифметического Людмила Фирмаль

двумерного пространства всегда является область соответствующей геометрической области. Для четырехполосной природы области, ограниченной кривой, необходимо, чтобы эти K p и b A I и m были n l o n ad b, p avn y Y Y Y zero[n°193], достаточно широкий класс таких кривых образуют непрерывную кривую, представленную явными

уравнениями, или кривую, состоящую из аналогичной части конечного числа. Заметим здесь, что гладкие кривые или кусочно-гладкие кривые, особенно с теми же характеристиками (не вдаваясь в доказательство). M предполагает, что как контур области(P), так и кривые, которые его разлагают, имеют нулевые области(например, принадлежащие указанному классу). Давайте фактически вернемся к

понятию двойного интеграла, уже введенному в n°336, и дадим ему общее определение в расширенном виде. Пусть функция определена в домене (P) / (x,*) _be.разделите область (P) на области (P^, (P2) и•••>(LL, площадь которых становится P R) в сети кривой… П l.It проще всего представить эти подобласти как связанные, но для облегчения дальнейшего изложения для них / в пределах второй базовой области

(RG) умножьте P1 области, соответствующей любой точке ( ^ ,^) и значению функции/ (^, t, t]d) в этой точке, и добавьте все такие дополнения. Полученная сумма *)Мы не делаем никаких предположений о его непрерывности. °= 1=1 Для функции области (P) / (x,y) назовем i n t e g R a l n n o y sum m O I. 238 глава XXI. двойной Интеграл[339 Представляет собой максимум X*) D и частичную область M E t R o (интегральная сумма конечных пределов RD I K — >0 * )

Диаметр набора точек-это точный верхний предел расстояния между двумя произвольными точками набора. В случае плоской Людмила Фирмаль

замкнутой области, ограниченной непрерывной кривой, диаметр является просто самой большой хордой. ** ) Читатель легко распознает точный смысл этого нового для себя предела. 1=пт а *) * Функция области (P)/(x, y), обозначаемая символом Один. ар Функция с Интегралом называется интегрируемой. 339 условия существования двойного интеграла. Способность к интеграции обязательно должна быть ограничена. Фактически, если нет, то можно, выбрав точку ( ^ , t^ -), произвольно увеличить интегральную сумму, любым заданным

способом разложив область (P) на части.、 Поэтому, если мы рассмотрим эту функцию/(x, y), мы предполагаем, что она заранее ограничена: т^ф(х, y)^М. Как и в случае функций от одной переменной, здесь полезно ввести сумму так называемых нижнего и верхнего Дарбу: п п;=1<=1 Здесь точное]D значение функции/(x, y) в области (RD) при этом способе разложения на части области (P) выполняется независимо от выбора t-g и/и;соответственно. 5 о 5. Однако, правильно выбрав эти точки, вы можете произвольно приблизить значение к/; gg-(/ID, и в то же время вы можете

произвольно приблизить сумму o к$(3). Таким образом, сумма верхнего и нижнего Дарбоха равна соответственно т о ч н ы м и 539]§1. Определение и простейшие свойства 239 Верхняя и нижняя границы интегральной Суммы соответствуют одному и тому же методу разложения области. Для суммы Дарбу, как и для линейной, можно задать следующие свойства: Это позволяет пользователю сделать следующее: Если вы добавляете новую разделительную линию к предыдущей и далее фрагментируете части (P,), сумма под darbu не уменьшится, а верхняя не увеличится. Т О Р О Е С В О Й с ТВ о. каждая нижняя сумма, даже если она соответствует другому

способу разложения области (р), не превышает верхней суммы. Доказательство делается так же, как и раньше[n°177]; только если была точка деления, то здесь надо говорить о линии деления. Однако есть моменты, на которые мы хотели бы обратить внимание наших читателей. В случае линейного, каждая новая точка деления будет четко разбивать один из старых интервалов на два. В случае с плоскостью ситуация осложняется тем, что две кривые могут пересекаться во многих отношениях и даже в бесконечном множестве точек. Аналогично, пересечение двух областей в I Zn s x

может быть областью, которая не находится в I Zn a I. Тогда устанавливается наличие точной границы/V.=Zir{5}, 2* = W!{5}>и получается, что Наконец, мы получаем теорему здесь, буквально воспроизводя доказательство линейного случая / n[178]. Для того чтобы двойной Интеграл существовал, необходимо и достаточно следующее НТ(5 -$) = О, Х — >0 Или в других спецификациях Это 2W, R=0, (6)X0 1=1 Где вибрация / и, — функция T1 / (x,y)подобласти (P$.

Задача об объеме цилиндрического бруса	Классы интегрируемых функций
Сведение двойного интеграла к повторному	Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов