Определение дифференцируемости функции

Определение дифференцируемости функции

• Определение Дифференцируемости функций. Пусть, как и в предыдущем абзаце, функция y-?(x) определяется интервалом (a, B), x-любое фиксированное число из этого интервала, DX-любое приращение аргумента X+Ah достаточно мало, чтобы значение аргумента x принадлежало интервалу (a, B), & Y=NH+&(x) —

приращение функции в точке x, соответствующее приращению аргумента Ah. Функция y=1 (x) называется дифференцируемой в точке x.,- 7 Зах 72194 Глава 5. Дифференциальное исчисление Приращение аргумента Ah может быть выражено как AU=AAh+a(Ah)Ah, (5.7)где A-несамостоятельное число Ah, а a (Ah) — функция бесконечно малого аргумента Ah при dh=0. В самой точке

DX=0 эта функция a (DX), вообще говоря,не определена, ей можно приписать любое значение в Людмила Фирмаль

этой точке. Кроме того, полезно считать это значение a (0) равным нулю. В этом расположении функция a (DX) непрерывна при DX=0, и знак равенства (5.7) может быть расширен до значения DX=0. Z a m e h a n I e. второй член правой части(5.7)a(DX) LX может быть переписан как o(Ah)*. Фактически, поскольку функции a (DX) и Ah являются бесконечно малыми при DX=0, произведение этих функций a (DX) DX является бесконечно малой дробной функцией более высокого

порядка DX=0, чем Ah (Глава 5, Часть 3. таким образом, выражение (5.7) можно записать в виде * Напомним, что символ o (Ah) обозначает бесконечно малую функцию более высокого порядка в точке Ah=0, чем ah. ** Если НТ а=а НТ а=0. Ах — » о ДХ — >0 АУ=Ах+о(Ах). Докажем следующее утверждение. Шаблон 5.1. Для того чтобы функция y=) (x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно иметь конечную производную (x) в этой точке. Д О К а з а т е л ь с Т В О. 1) потребность. Пусть функция y==D (x) дифференцируется в точке x, то

• есть ее приращение AU в этой точке соответствует приращению аргумента Ah, выраженному в виде(5-7). Если DX отличается от нуля, и вы думаете о делении (5.7) на Ah, то это будет-^-=A+a (A x). (5.8)) О! Правая (и, следовательно, левая) часть (5.8) имеет предел, равный.Обратите внимание, что предел Dx=0 на левой стороне DX^o (5.8) (если присутствует) равен производной/DX по определению). Итак, если выражение (5.7) верно для функции/(x), то эта функция имеет производную G (x) в точке x, а/'(x)=A. 2) достаточность. Предположим, что существует конечная производная G(X), т. е. существует конечный предел и t^ — — =/'(x). (5.9)§2. Понятие

Дифференцируемости функции 195 Обозначим разность символов a (DX)—(x), т. е.-DX Залечь. а (ДХ)=^~г(х). (5.Ага.) DH. Отсюда следует существование предела (5.9), где функция a (DX), определенная соотношением (5.9), имеет предел, равный нулю для DX-*0. Если вы умножите отношение (5.10) на DX, оно станет выражением Дю=(х) DX+<х (dх) dх, А=Д (х), которая совпадает с выражением (5.7).

Таким образом, существование конечной производной доказано}'(x)означает Дифференцируемость функции y=/(x)в точке x, а в условии Людмила Фирмаль

Дифференцируемости(5.7)теорема доказывает, что число a конгруэнтно/'(x). Доказанная теорема далее описывает понятие Дифференцируемости функции в данной точке, используя понятие существования конечной производной этой функции в данной точке. Операцию по нахождению производной в дальнейшем условимся называть д и Ж Е Р Е Н С и Р О В А Н И Е М

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Арифметические операции над функциями, имеющими предел	Раскрытие неопределенности вида ∞/∞.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции	Инвариантность формы первого дифференциала