Оглавление:
Все возможные операции, которые можно выполнять над векторами в координатах, представим в виде таблицы 5.1:
Таблица 5.1
Операции над векторами в координатах

Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если векторы и
коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.

Теорема 2. Если ненулевые векторы и
взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:
Пример №5.1.
Даны точки
Найдите: 1) координаты вектора ;
2) длину вектора ;
3) координаты точки — середины
.
Решение:
1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора:
Тогда
2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле:

3) Пусть точка — середина отрезка
. Тогда ее координаты находятся по формуле:

Ответ:
Пример №5.2.
Даны .
Найдите:
Решение:
1) Вектор задан в виде разложения по базисным векторам
. Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису:
.
Найдем координаты векторов и
по формуле:
. Тогда
Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов:
Получим, что
2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов:

Получим:

3) Найдем косинус угла между векторами по формуле .

Ответ:

Пример №5.3.
При каком значении векторы
1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
Решение:
1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что

Следовательно, при векторы
и
коллинеарны.
2) Воспользуемся теоремой 2: если

Следовательно, при векторы
и
перпендикулярны.
Ответ: 1) ; 2)
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Скалярное произведение векторов. |
Координаты вектора на плоскости и в пространстве. |
Уравнение линии на плоскости. |
Способы задания прямой. |