Оглавление:
Транспонирование матриц
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается .
Пример №1.1.
Транспонируйте матрицу
Решение:
Операция транспонирования матрицы осуществляется следующим образом: первая строка матрицы
становится первым столбцом матрицы
, вторая строка
— вторым столбцом
, т.е.

Сложение (вычитание) матриц
Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.
Суммой (разностью) матриц и
называется матрица
, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц
и
, т.е.
Пример №1.2.
Найдите сумму и разность матриц и
Решение:

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число
называется матрица
той же размерности, элементы которой равны произведению числа
на соответствующие элементы матрицы
, т.е.
Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

Пример №1.3.
Найдите произведение матрицы на число
Решение:

Умножение матриц
Матрицу можно умножать на матрицу
тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
.

Произведением матрицы размера (
) на матрицу
размера (
) называется матрица
размера (
), элементы которой равны сумме произведений элементов
-ой строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
.
Получение элемента можно представить в виде схемы (рис. 1.1):
Пример №1.4.
Найдите произведение матриц и
Решение:
Размер матрицы , размер
.
Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы
, следовательно, умножение возможно. При этом матрица
будет иметь размерность
.
Найдем элементы матрицы
:
Для нахождения элемента находим сумму произведений элементов первой строки матрицы
и первого столбца матрицы
:
= ( 1 строка
и 1 столбец
) = 1 • 1 + 2 • 0 + 0 • 2 = 1;
Аналогично = (1 строка
и 2 столбец
) = 1 • 2 + 2 • 1 + 0 • 2 = 4;
= (2 строка
и 1 столбец
) = 3 • 1 + 1 • 0+1 • 2 = 5;
= (2 строка
и 2 столбец
) = 3 • 2 + 1 • 1 + 1 • 2 = 9.
Получили, что . Ответ:
Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
- В общем случае
(порядок матриц при умножении важен).
Замечание: Свойством коммутативности обладают произведения:

где и
— единичная и нулевая матрицы соответственно.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Виды квадратных матриц. |
Равенство матриц. |
Понятие определителя матрицы. |
Свойства определителей. |