
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса с центром в точке
называется множество всех точек
плоскости, удовлетворяющих условию
. Пусть точка
в прямоугольной системе координат
имеет координаты
, а
— произвольная точка окружности (см. рис. 48).
Тогда из условия получаем уравнение

то есть

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки
данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая и
, получим уравнение окружности с центром в начале координат
.
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при и
равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.
Рассмотрим обратную задачу: Положив в уравнении (11.1) значения и
, получим

Преобразуем это уравнение:

т.е.

т.е.

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке
, а радиус

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

Ему удовлетворяют координаты единственной точки этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Уравнения прямой на плоскости |
Прямая линия на плоскости |
Эллипс |
Гипербола |