Окрестности точек. Пределы последовательностей точек

Окрестности точек. Пределы последовательностей точек

Окрестности точек. Пределы последовательностей точек. Предположим, что некоторая прямоугольная система декартовых координат всегда задана в плоскости или в рассматриваемом пространстве. Точки обозначаются в первую очередь буквами нац —та же буква с индексом, то есть x =(x1, x2), y =(y1, y2) для плоскости,* = (*x1, x3), y =(y, y2, y3) для пространства. расстояние между точками xnu обозначается через p (x, y). как известно, формула для расстояния между точками x и y в случае плоскости имеет следующий вид: В дальнейшем n = 1, 2, 3, поскольку приходится иметь дело не только с функциями 2 и 3 переменных, но и с функциями более variables.

Прежде чем приступить к изучению многих переменных функций, вы познакомитесь с некоторыми свойствами множества, в котором эти функции определены. Людмила Фирмаль

• It полезно ввести понятие n-мерного пространства. Определение 1. точка x в n-мерном пространстве является N вещественным числом (x1,…, xn)= упорядоченная совокупность X. Число XI-это точка координаты 1 x \ 1 = 1, 2,…звонил, Н. 2 балла (x1} …xn) и (yb …расстояние между * ’M, LH, P и другие заглавные буквы могут указывать на точку. Их координаты обозначаются буквами x, y, r. Множество точек в n-мерном пространстве, в котором расстояние определяется по формуле (18.1), называется n-мерным евклидовым пространством(или, более полно, n-мерным арифметическим евклидовым пространством) и представлено КН. Или R. xДля краткости вы также можете написать* = ( * » ) вместо x =(xr, xn). для η= 1 пространство «» совпадает с прямой линией, для η= 2-плоскостью, для η −3-пространством, изучаемым в фундаментальной геометрии и аналитической геометрии.

Для любого η3 это скрытый физический или геометрический смысл, и наша цель-построить математический аппарат, удобный для изучения функций многих переменных. Это позволяет провести анализ по прямой, плоскости и более общей схеме. Расстояние между точками в / 2-D евклидовом пространстве Rn имеет следующие характеристики: Свойства 1°и 2°следуют непосредственно из уравнения (18.1), но 3-е обычно называют»неравенством треугольника»и хорошо известно в обычном 3-мерном пространстве. Сначала докажите лемму. Лемайе 1(Тренер-Шварц’).Для действительных ak и bk, k = 1, 2,…n, неравенство Доказательство. Все a1 = 0, I = 1, 2,…, в случае n неравенство (18.2) очевидно, обе части исчезают. 1 + … для + a & 0 рассмотрим квадратичную функцию Очевидно.

• Из условия (18.5) следует, что квадратный триплет (18.4) имеет соответствующий вещественный корень или, по существу, комплексный корень, поэтому его дискриминант не является положительным. Если мы переместим 2-й член вправо и извлекем квадратный корень, то получим (18.2). Тс Чтобы доказать неравенство (18.3), оценим сумму y (a;+^’) 2. Применить неравенства (18.2). Если извлечь квадратный корень с обеих сторон, то получится(18.3).Следующим шагом является возврат к свойству 3 расстояния между точками в пространственном Hn. Тогда неравенство(18.3) можно переписать следующим образом: Или, согласно (18.1), p (x, r)= ^ p (x, y) {p (y,*).

В остальной части этого раздела пространство считается фиксированным (то есть число n считается фиксированным). Определение 2. х, = Х2 = … = Xr_1 = х, + 1 = хп = n-мерном Евклидовом пространстве Ин точке x =(Х1,…множество xn) называется 1-й координатной осью этого пространства (1 = 1, 2,…северный.)Точка O =(0, 0…0) называется началом координат. Очевидно, что для N-2 и N = 3, определение дает обычные координатные оси. Замечание. Если вы определяете 2 декартовых системы на плоскости, то точка M 1 системы имеет координаты (x, y) и другие (|, m]), то есть M =(x, y)=(5, m]).Если вы назначаете упорядоченную пару (x, y) упорядоченной паре (5, m]), вы получаете соответствие от 1 до 1 между множеством всех упорядоченных пар (x, y) и множеством всех упорядоченных пар (5, m]).

Будущая, если не указано иное, система координат считается фиксированной. Людмила Фирмаль

• Также、 В этом примере следующее определение становится естественным: Каждая точка x =(x1,…N действительное число x(x)=(5b … 1N) присваивает упорядоченное комплексное число 2 точкам x ’ = (x1; …Xn) и X «=(Х1,…, x’N) и соответствующий комплекс I (x’) =(&»•••1l) и / {x») =(II,…, \ «N) равенство Числа в коллекции(| x,…, \ n) также известна как Координата точки x («другая система координат»). в этом определении координат, когда система координат изменяется, то есть когда одна система координат заменяется другой, расстояние между 2 заданными точками не изменяется. change. In Если задана точка x.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Центр кривизны и эволюта кривой.	Различные типы множеств.
Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой.	Компакты.