Ограниченные и неограниченные множества.

Ограниченные и неограниченные множества.

Ограниченные и неограниченные множества. Введем много необходимых понятий на будущее и изучим некоторые свойства числовых множеств. Определение 1.Для подмножества действительных чисел X, если существует число b, которое не меньше каждого числа x∈X, то есть если неравенство x b выполняется для любого x∈X, то множество X называется верхней границей, а число b называется границами числа из вершины множества X. Используя логические символы, определение множества указанных диапазонов записывается в форму. X » ограничено более чем 3 b€K V x€. х б; отсюда X » V b€K 3 x€не ограничивается выше. X b, то есть для числа b∈K, если существует число x∈X такое, что x b имеет место, множество X не ограничено выше. Набор, который не является набором с границей сверху, называется набором с границей сверху. Если число b связывает множество X выше, т. е. если неравенства x b и b содержат все x∈X, очевидно, потому что x b также содержит все x∈X, то число b ’также ограничивает множество X сверху. Если множество X содержит число b, которое не меньше всех других чисел из X, т. е. b€X, и неравенство x b выполняется для всех x∈X, то это число b называется максимальным или максимальным числом множеств X. b = max X.

Очевидно, что если множество X имеет максимальное число, то оно уникально, и само множество X в этом случае ограничено сверху этим числом. Людмила Фирмаль

• Кроме того, если множество X не ограничено вершиной, по определению, это означает, что существует по крайней мере 1 элемент x∈X, который был бы x b для любого числа b∈K. отметим тот факт, что на практике таких элементов бесконечно много. Действительно, предположим, что их было только конечное число. икс.,..xn, n∈N. то есть все x∈X и xΦxk, V = 1, 2,…для n справедливо неравенство x b. Тогда b0 = max {b, x,…, xn}и для всех x∈X выполняется неравенство x b0, то есть, вопреки предположению, ясно, что множество X ограничено. Ограниченное множество определяется ниже, подобно ограниченному множеству выше. Определение 2.Для подмножества действительных чисел X, если существует число a, которое не больше каждого числа x∈X, то есть если неравенство A x выполняется для любого x∈X, то множество X называется нижней границей, а число a называется числом, ограниченным под этим множеством. Множество без следующих границ называется множеством без следующих границ. Используйте логический символ для описания определения базового набора в форме. X «3 A€K V x€X. x a; отсюда X»V A€K 3 x€X. xa, то есть, каким бы ни было число a∈K, если есть элемент x∈X, такой, что это x a, множество X не ограничено ниже.

• Очевидно, что если число a ограничено множеством X, то любое число a также ограничено этим множеством. Если число a, содержащееся в множестве X, не больше всех других чисел в X, т. е.€X, и неравенство A X выполняется для всех x€X, то это число a называется минимальным или минимальным числом множества X. a = mtX. Если число множества X наименьшее, то оно уникально, и само множество X в этом случае ограничено снизу этим числом. Определение 3.Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством. Другими словами, если существуют такие числа a и b, в которых неравенство A x b выполняется для любого x∈X, то множество XKK называется ограниченным. Набор, который не ограничен, называется неограниченным. Очевидно, что неограниченные наборы могут быть неограниченными как вверх, так и вниз, или только вверх или вниз. Упражнение 1.Докажите, что множество X = K ограничено тогда и только тогда, когда существует 0 такое, что выполняется неравенство| x|.

Это определение должным образом соответствует соответствующему определению подмножества нерасширенного множества действительных чисел. Людмила Фирмаль

• Набор имеет границу внизу и не имеет границы вверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех рациональных чисел-это неограниченное множество, как вверху, так и внизу. Формальное обобщение (см.§ 2.5) понятия, которое просто ограничено подмножеством расширенного множества K вещественного K, с границей вверху и границей внизу, не становится значимым, потому что все подмножества расширенного множества вещественных чисел ограничены сверху знаком и вниз знаком, таким образом, понятие просто тем не менее, понятие максимального (минимального) элемента множества также имеет смысл в этом случае. Если неравенство x c (x c, соответственно) справедливо для всех x X X, то конечное или бесконечное число X X K называется максимумом (минимумом) множества X K. В будущем.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Расширенная числовая прямая.	Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Промежутки действительных чисел. Окрестности.	Арифметические свойства верхних и нижних граней.