Оглавление:
Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве
- Одновременное приведение двух квадратичных форм Сумма квадратов в линейном пространстве. Вот важная теорема одновременного редукции 2 квадратичные формы для любой суммы квадратов (необязательно) Строго евклидово вещественное линейное пространство.
- Теорема 7.9. A (x, y) и B (x, y) симметричные билинейные Линейная форма, определенная в реальном линейном пространстве Часть V. Кроме того, для всех x∈V, xΦ0, Неравенство B (x, x)> 0 (то есть квадратичная форма B (x, x) Положительно определен). Тогда вы можете показать в пространстве V Определите базис {e /,}, вторичная форма которого A (x, x) и B (x, x) Может быть представлен как ? G51) G-52)
Где ^ k — координата базисного вектора x. Людмила Фирмаль
Доказательство. Согласно замечаниям в конце § 2 этой главы Скалярное произведение конечномерного вещественного пространства Билинейная форма B (x, y), может быть установлена с помощью полюсов Положительно определенная квадратичная форма B (x, x) Следовательно, скаляр может быть введен в линейное пространство V. Вектор x и y произведение (x, y), настройка (X, y) = ?? (x, y). G.53)
- Следовательно, V является следующим евклидовым пространством. Скалярное произведение G.53). Согласно теореме 7.11 Ортонормированный базис {e ^} и действительное число A / и т. Д. Исходя из этого, вторичная форма A (x, x) представлена в форме G.51). С другой стороны, для ортонормированного базиса скаляр В соответствии с произведением (x, x), равным, G.53), B (x, x) является Как сумма квадратов координат вектора х.
Так присутствует Деление B (x, x) в базисе {e ^} вида G.52) также оправдано. теорема Проверенная. Замечания. Доказано сразу из теоремы Удар любой квадратичной формы любого действительного числа Линейное пространство может быть сведено к канонической форме. один такие методы восстановления, как правило, более сложны, Чем метод, указанный в 3 выше.
Из всех собственных векторов самосопряженной операции Тора (см. Главу 6 по причине). Людмила Фирмаль
Смотрите также:
